Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，頂點(diǎn)B在x軸正半軸上，OA、OB的長分別是一元二次方程x2﹣7x+12=0的兩個根（OA＞OB）．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（2）求直線BC的解析式．

（3）在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使△PCD為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

 

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的長度，過點(diǎn)D作DE⊥y于點(diǎn)E，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角邊”證明△DAE和△ABO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；

（2）過點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，同理求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，△PCD為等腰三角形；點(diǎn)P為點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)時，△PCD為等腰三角形，然后求解即可．

試題解析：（1）x2﹣7x+12=0，

解得x1=3，x2=4，

∵OA＞OB，

∴OA=4，OB=3，

過D作DE⊥y于點(diǎn)E，

∵正方形ABCD，

∴AD=AB，∠DAB=90°，

∠DAE+∠OAB=90°，

∠ABO+∠OAB=90°，

∴∠ABO=∠DAE，

∵DE⊥AE，

∴∠AED=90°=∠AOB，

∵DE⊥AE

∴∠AED=90°=∠AOB，

∴△DAE≌△ABO（AAS），

∴DE=OA=4，AE=OB=3，

∴OE=7，

∴D（4，7）；

（2）過點(diǎn)C作CM⊥x軸于點(diǎn)M，

同上可證得△BCM≌△ABO，

∴CM=OB=3，BM=OA=4，

∴OM=7，

∴C（7，3），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)），

代入B（3，0），C（7，3）得，，

解得，

∴y=x﹣；

（3）存在．

點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，P1（3，0），

點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C對稱時，P2（11，6）．

考點(diǎn)：1、解一元二次方程；2、正方形的性質(zhì)；3、全等三角形的判定與性質(zhì)；4、一次函數(shù)