Question

在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中點(diǎn)，連接PG、PC．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時(shí)，易證：PG=PC．（不必證明）

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給與證明；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段PC、PG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想（不必證明）．

 

 

Answer 1

（2)猜想：PG=PC,證明見解析

(3)猜想：PG=PC

【解析】

試題分析：（2）延長(zhǎng)GP交DA于點(diǎn)E，連接EC，GC，先證明△DPE≌△FPG，再證得△CDE≌△CBG，利用在Rt△CPG中，∠PCG=60°，所以PG=PC．

（3）PG=PC．

試題解析：（2）猜想：PG=PC

如圖2，延長(zhǎng)GP交DA于點(diǎn)E，連接EC，GC，

∵∠ABC=60°，△BGF正三角形

∴GF//BC//AD，

∴∠EDP=∠GFP，

又∵DP=FP，∠DPE=∠FPG

∴△DPE≌△FPG（ASA）

∴PE=PG，DE=FG=BG，

∵∠CDE=CBG=60°，CD=CB，

∴△CDE≌△CBG（SAS）

∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，

∴∠ECG=∠DCB=120°，

∵PE=PG，

∴CP⊥PG，∠PCG=∠ECG=60°

∴PG=PC．

（3）猜想：PG=PC．

考點(diǎn)：1、全等三角形的判定；2、菱形的性質(zhì)；3、等邊三角形的性質(zhì)