Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，且PA=PB．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）已知PA=

3

，∠ACB=60°，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）連結(jié)OB，由OA=OB，得∠OAB=∠OBA，再根據(jù)PA=PB，得∠PAB=∠PBA，從而得出∠PAO=∠PBO，由PA是⊙O的切線可推得∠PBO=90°，即OB⊥PB，所以PB是⊙O的切線；
（2）連結(jié)OP，根據(jù)PA=PB，則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，再由OA=OB，則點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，從而得出OP垂直平分線段AB，根據(jù)BC⊥AB，得出PO∥BC，則∠AOP=∠ACB=60°，在Rt△APO中，利用tan∠AOP=

AP

AO

，求出AP，即可得出答案．

解答：證明：（1）連結(jié)OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，即∠PAO=∠PBO，
又∵PA是⊙O的切線，
∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=90°，
∴OB⊥PB，
又∵OB是⊙O半徑，
∴PB是⊙O的切線；
（2）連結(jié)OP，
∵PA=PB，
∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，
∵OA=OB，
∴點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，
∴OP垂直平分線段AB，
又∵BC⊥AB，
∴PO∥BC，
∴∠AOP=∠ACB=60°，
∵在Rt△APO中，tan∠AOP=

AP

AO

=tan 60°=

3

，AP=

3

，
∴AO=1，
∴⊙O的半徑為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定和性質(zhì)、線段的垂直平分線以及解直角三角形的綜合運(yùn)用．