Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，AB=10，AE=3，BF=5，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,梯形中位線(xiàn)定理

專(zhuān)題：

分析：過(guò)點(diǎn)O作OG⊥CD于點(diǎn)G，連接OG，由垂徑定理可知CG=

1

2

CD，根據(jù)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)可知OG是梯形AEFB的中位線(xiàn)，故可得出OG的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可得出CG的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AM長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：過(guò)點(diǎn)O作OG⊥CD于點(diǎn)G，連接OG，過(guò)A作AM⊥BF于M，

∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠E=∠F=∠AMF=90°，
∴四邊形AEFM是矩形，
∴AE=FM=3，EF=AM，∠AMF=∠AMB=90°，
∴BM=5-3=2，
由勾股定理得：EF=AM=

102-22

=4

6

，
∵點(diǎn)O是圓心，
∴CG=

1

2

CD．
∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，
∴OG是梯形AEFB的中位線(xiàn)，
∵AE=3，BF=5，
∴OG=

3+5

2

=4．
在Rt△OCG中，
∵OG=4cm，OC=5cm，
∴CG=

OC2-OG2

=

52-42

=3，
∴CE=

1

2

×4

6

-3=2

6

-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，勾股定理，矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．