Question

已知：如圖，在平面直角坐標xOy中，邊長為2的等邊△OAB的頂點B在第一象限，頂點A在x軸的正半軸上．另一等腰△OCA的頂點C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．現(xiàn)有兩動點P、Q分別從A、O兩點同時出發(fā)，點Q以每秒1個單位的速度沿OC向點C運動，點P以每秒3個單位的速度沿A→O→B運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨即停止．
（1）求在運動過程中形成的△OPQ的面積S與運動的時間t之間的函數(shù)關系，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）在等邊△OAB的邊上（點A除外）存在點D，使得△OCD為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）由于點Q從點O運動到點C需要

2 3

3

秒，點P從點A→O→B需要

4

3

秒，所以分兩種情況討論：①0＜t＜

2

3

；②

2

3

≤t＜

2 3

3

，針對每一種情況，根據(jù)P點所在的位置，由三角形的面積公式得出△OPQ的面積S與運動的時間t之間的函數(shù)關系，并且得出自變量t的取值范圍；
（2）如果△OCD為等腰三角形，那么分D在OA邊或者OB邊上或AB邊上三種情形．每一種情形，都有可能O為頂點，C為頂點，D為頂點，分別討論，得出結果．

解答：解：（1）過點C作CD⊥OA于點D（如圖1）
∵OC=AC，∠ACO=120°，
∴∠AOC=∠OAC=30°．
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=DA=1．
在Rt△ODC中，OC=

OD

cos30°

=

1

cos30°

=

2 3

3

①當0＜t＜

2

3

時，OQ=t，AP=3t，OP=OA-AP=2-3t．
過點Q作QE⊥OA于點E．（如圖1）
在Rt△OEQ中
∵∠AOC=30°，
∴QE=

1

2

OQ=

t

2

，
∴S_△OPQ=

1

2

OP•EQ=

1

2

（2-3t）•

t

2

=-

3

4

t²+

1

2

t，
即S=-

3

4

t²+

1

2

t；
②當

2

3

＜t≤

2 3

3

時（如圖2）
OQ=t，OP=3t-2．
∵∠BOA=60°，∠AOC=30°，
∴∠POQ=90°．
∴S_△OPQ=

1

2

OQ•OP=

1

2

t•（3t-2）=

3

2

t²-t，
即S=

3

2

t²-t；
故當0＜t＜

2

3

時，S=-

3

4

t²+

1

2

t；
當

2

3

＜t≤

2 3

3

時，S=

3

2

t²-t；

（2）如圖3，若點D在OA上時，OC=OD，則OD=OC=

2

3

3

，
D點的坐標為（

2

3

3

，0），
如圖4，若OD=CD時，
∵∠COD=30°，cos∠COD=

DQ

OD

，
∴cos30°=

OQ

OD

，
∴OD=

OQ

cos30°

=

1 3 3

3 2

=

2

3

，
∴D點的坐標為（

2

3

，0）；
如圖5，當點D在BA上時，
若OD=CD，則點D在OC的垂直平分線上，設OC的垂直平分線DQ與x軸交于點P，
則∠APD=60°，OQ=CQ=

3

3

，
∵∠DAP=60°，
∴△ADP是等邊三角形，
過點D作DM⊥PA于M，則PM=DM，
∵∠AOC=30°，
∴OP=

OQ

cos30°

=

3 3

3 2

=

2

3

，
∴AP=2-

2

3

=

4

3

，
∴PM=

2

3

，
∴OM=

4

3

，DM=tan60°•PM=

2

3

3

，
∴D點的坐標為（

4

3

，

2

3

3

）；
如圖6，當點D在OB上時，
若OD=OC，則OD=

2

3

3

，
過點D作DM⊥OA于M，則OM=

1

2

OD=

1

3

3

，DM=1，
則D點的坐標為（

3

3

，1）；
綜上所述；符合條件的點D的坐標是（

3

3

，1）或（

2 3

3

，0）或（

2

3

，0）或（

4

3

，

2 3

3

）．

點評：本題綜合考查了相似形的綜合，用到的知識點是等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分類討論時，做到不重復，不遺漏．