Question

【題目】如下圖，和是等腰直接角三角形，，點為邊上一點，連接，交于點，點恰好是中點，連接.

（1）求證：；

（2）連接AM、AE，請?zhí)骄?/span>AN與EN的位置關系與數(shù)量關系。

①寫出AN與EM:位置關系___；數(shù)量關系___；

②請證明上述結論.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①AN⊥EM,AN=EM；②見解析；

【解析】

（1）由∠CED=∠BCE=90°，可證得BC∥DE，然后由點N恰好是BD中點，利用ASA可證得△BMN≌△DEN，繼而證得結論；

（2）首先連接AM，AE，由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，易證得△ABM≌△ACE，則可證得△AME是等腰直角三角形，繼而證得AN⊥EM，AN=EM．

(1)證明：∵∠CED=∠BCE=90°，

∴BC∥DE，

∴∠MBN=∠EDN，

∵點N恰好是BD中點，

∴BN=DN，

在△BMN和△DEN中，

，

∴△BMN≌△DEN(ASA)，

∴MN=EN；

(2)①位置關系：AN⊥EM,數(shù)量關系：AN=EM.

故答案為：AN⊥EM,AN=EM.

②證明：連接AM，AE，

∵△BMN≌△DEN，

∴BM=DE，

∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，

∴AB=AC,∠ABM=∠ACB=45°，DE=CE，

∴BM=CE，

∵∠BCE=90°，

∴∠ACE=45°，

∴∠ABM=∠ACE，

在△ABM和△ACE中，

，

∴△ABM≌△ACE(SAS)，

∴AM=AE，∠BAM=∠CAE，

∴∠BAM+∠CAM=∠CAE+∠CAM，

即∠MAE=∠BAC=90°，

∵MN=EN，

∴AN⊥EM,AN=EM.