Question

【題目】如圖，中，AB=AC,,點(diǎn)D，E分別在AB,BC上，,點(diǎn)F為DE的延長線與AC的延長線的交點(diǎn).

（1）求證：DE=EF

（2）判斷BD和CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）若,,求BD的長。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）1.

【解析】

（1）由∠BAC=90°，則可得∠EAD+∠FAE=∠EDA+∠AFE，再根據(jù)∠EAD=∠EDA，即可得AE=DE，∠FAE=∠AFE，繼而可推得DE=EF；

（2）在BE邊上取一點(diǎn)M，使得ME=CE，連接DM，證明△DEM≌△FEC，從而可得DM=CF，∠MDE=∠CFE，繼而可得DM//CF ，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及判定即可得BD=DM，繼而得BD=CF；

（3）過點(diǎn)E作交AD于點(diǎn)N，設(shè)BD=x>0，則有DN=，DE=AE=，EN= ，在Rt△END中，利用勾股定理即可求得答案.

（1）∵∠BAC=90°，

∴∠EAD+∠FAE=∠EDA+∠AFE=90°，

∵∠EAD=∠EDA，∴AE=DE，∠FAE=∠AFE，

∴AE=EF=DE，

∴DE=EF；

（2）BD=CF，理由如下：

在BE邊上取一點(diǎn)M，使得ME=CE，連接DM，

∵DE=EF，∠DEM=∠CEF，

∴△DEM≌△FEC (SAS)，

∴DM=CF，∠MDE=∠CFE，

∴DM//CF ∴∠BDM=∠BAC=90°，

∵AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠DMB=45°，

∴BD=DM，

∴BD=CF；

（3）過點(diǎn)E作交AD于點(diǎn)N，

∵AE=DE，EN⊥AD，∴AN=DN，

∵AB=3，AE=，

∴設(shè)BD=x>0，則有DN=，DE=AE=，

∵EN⊥AD，∠ABC=45°，

∴∠NEB=45°，∴BN=EN=x+=，

在Rt△END中，DN2+NE2=DE2，

即（）2+（）2=（）2，

∴x=1，

即BD=1.