【題目】如圖所示，AD是△ABC的中線，AE⊥AB，AF⊥AC，且AE=AB，AF=AC，AD=3，AB=4．

（1）求AC長度的取值范圍；

（2）求EF的長度．

【答案】（1）2＜AC＜10；（2）EF= 6.

【解析】

（1）延長AD到M，使得AD=DM，連接MC，由“SAS”可得△ABD≌△MCD，可得AB=MC=4，∠BAD=∠M，由三角形三邊關系可求解；
（2）由“SAS”可證△AEF≌△CMA，可得EF=AM=6．

（1）延長AD到M，使得AD=DM，連接MC，

∴AD=DM，AM=2AD=6，

∵AD是△ABC的中線，

∴BD=CD，

∵在△ABD和△MCD中，

，

∴△ABD≌△MCD（SAS），

∴AB=MC=4，∠BAD=∠M，

∵AM-MC＜AC＜AM+MC

∴2AD-MC＜AC＜2AD+MC

∴2＜AC＜10

（2）∵AB=AE，

∴AE=MC，

∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠EAB=∠FAC=90°，

∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°，

∴∠BAC+∠EAF=180°，

∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°，

∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°，

即∠BAC+∠MCA=180°，

∴∠EAF=∠MCA．

∵在△AEF和△CMA中，

，

∴△AEF≌△CMA（SAS），

∴EF=AM=6

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1，拋物線經(jīng)過，兩點，拋物線與x軸的另一交點為A，連接AC、BC．

求拋物線的解析式及點A的坐標；

若點D是線段AC的中點，連接BD，在y軸上是否存一點E，使得是以BD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點E的坐標，若不存在，說明理由；

如圖2，P為拋物線在第一象限內(nèi)一動點，過P作于Q，當PQ的長度最大時，在線段BC上找一點M使的值最小，求的最小值．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直線AB的解析式為，拋物線與y軸交于點A，與x軸交于點，點P是拋物線上一動點，設點P的橫坐標為m．

求拋物線的解析式；

如圖，當點P在第一象限內(nèi)的拋物線上時，求面積的最大值，并求此時點P的坐標；

過點A作直線軸，過點P作于點H，將繞點A順時針旋轉，使點H的對應點恰好落在直線AB上，同時恰好落在坐標軸上，請直接寫出點P的坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：．

求拋物線的對稱軸；

無論a為何值，拋物線都經(jīng)過兩個定點，求這兩個定點的坐標；

將拋物線沿中兩個定點所在直線翻折，得到拋物線，當的頂點到x軸的距離為1時，求拋物線的解析式．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，半圓的半徑OC=2，線段BC與CD是半圓的兩條弦，BC=CD，延長CD交直徑BA的延長線于點E，若AE=2，則弦BD的長為_________.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，中，AB=AC,,點D，E分別在AB,BC上，,點F為DE的延長線與AC的延長線的交點.

（1）求證：DE=EF

（2）判斷BD和CF的數(shù)量關系，并說明理由；

（3）若,,求BD的長。

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸分別交于A(1,0),B(3,,0)兩點，與軸交于點C.

（1）求此二次函數(shù)解析式；

（2）點D為拋物線的頂點，試判斷的形狀，并說明理由.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在□ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在CD上，CF=AE，連接BF，AF．

（1）求證：四邊形BFDE是矩形；

（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，△ ABC中，∠ ABC＝90°，AB＝BC，D在邊 AC上，AE┴ BD于 E．

(1) 如圖 1，作 CF⊥ BD于 F，求證：CF－AE＝EF；

(2) 如圖 2，若 BC＝CD，求證：BD=2AE ；

(3) 如圖3，作 BM ⊥BE，且 BM＝BE，AE＝2，EN＝4，連接 CM交 BE于 N，請直接寫出△BCM的面積為______．

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