【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.動點M,N從點C同時出發(fā),均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A,B移動,同時動點P從點B出發(fā),以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動,連接PM,PN,設(shè)移動時間為t(單位:秒,0<t<2.5).
(1)當(dāng)t為何值時,以A,P,M為頂點的三角形與△ABC相似?
(2)是否存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,請說明理由.
【答案】解:∵如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.
∴根據(jù)勾股定理,得AB=。
(1)以A,P,M為頂點的三角形與△ABC相似,分兩種情況:
①當(dāng)△AMP∽△ABC時,,即,解得;
②當(dāng)△APM∽△ABC時,,即,解得t=0(不合題意,舍去)。
綜上所述,當(dāng)時,以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似。
(2)存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值.理由如下:
假設(shè)存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值。
如圖,過點P作PH⊥BC于點H.則PH∥AC,
∴,即。∴。
∴。
∵>0,∴S有最小值。
當(dāng)t= 時,S最小值=.
答:當(dāng)t=時,四邊形APNC的面積S有最小值,其最小值是。
【解析】
試題根據(jù)勾股定理求得AB=5cm。
(1)分△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況討論:利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例來求t的值。
(2)如圖,過點P作PH⊥BC于點H,構(gòu)造平行線PH∥AC,由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值;然后根據(jù)“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S與t的關(guān)系式,則由二次函數(shù)最值的求法即可得到S的最小值。
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【題目】如圖,在中,按以下步驟作圖:
第一步:分別以點為圓心,以大于的長為半徑畫弧,兩弧相交于兩點;
第二步:作直線交于點,連接.
(1)是______三角形;(填“等邊”、“直角”、“等腰”)
(2)若,則的度數(shù)為___________.
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【題目】下圖顯示了用計算機模擬隨機拋擲一枚硬幣的某次實驗的結(jié)果
下面有三個推斷:
①當(dāng)拋擲次數(shù)是100時,計算機記錄“正面向上”的次數(shù)是47,所以“正面向上”的概率是0.47;
②隨著試驗次數(shù)的增加,“正面向上”的頻率總在0.5附近擺動,顯示出一定的穩(wěn)定性,可以估計“正面向上”的概率是0.5;
③若再次用計算機模擬此實驗,則當(dāng)拋擲次數(shù)為150時,“正面向上”的頻率一定是0.45.
其中合理的是
A. ① B. ② C. ①② D. ①③
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【題目】判斷題,正確的打“√”,錯誤的打“×”.
(1),得(______). (2)由,得(______).
(3)2是不等式的解(______). (4)由,得(______).
(5)如果,,則(______). (6)如果,則(______).
(7)(______)
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【題目】一列快車從甲地駛往乙地,一列慢車從乙地駛往甲地,兩車同時出發(fā),設(shè)慢車行駛的時間為(h),兩車之間的距離為(km),圖中的折線表示與之間的函數(shù)關(guān)系.根據(jù)圖象進行以下探究:
(1)甲、乙兩地之間的距離為 km;
(2)請解釋圖中B點的實際意義: ;
(3)求慢車和快車的速度.
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【題目】如圖,A,P,B,C是半徑為8的⊙O上的四點,且滿足∠BAC=∠APC=60°,
(1)求證:△ABC是等邊三角形;
(2)求圓心O到BC的距離OD.
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【題目】一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是( 。
A. B. C. D.
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【題目】先閱讀下列材料,再解答下列問題:
題:分解因式:
解:將“”看成整體,設(shè),則原式=
再將“”還原,得原式=.
上述解題用到的是“整體思想”,“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法,請你仿照上面的方法解答下列問題:
(1)因式分解: ; .
(2)因式分解: ; .
(3)求證:若為正整數(shù),則式子的值一定是某一個正整數(shù)的平方.
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