Question

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC 的頂點坐標分別為A（－2，0）、B（4，0）、C（0，2）．

（1）請用尺規(guī)作出△ABC的外接圓⊙P（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）求出（1）中外接圓圓心P的坐標；

（3）⊙P上是否存在一點Q，使得△QBC與△AOC相似？如果存在，請直接寫出點Q 坐標；如果不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

(1)作圖見解析；（2）點P坐標為（1，-1）．（3）⊙P上存在一點Q（-2，-2），（2，-4），使得△QBC與△AOC相似．

【解析】

試題分析：（1）作出AC與BC線段垂直平分線得出交點即為圓心，進而利用圓心到線段端點距離長為半徑求出即可；

（2）過點P做PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，連接PC、PE，在Rt△BPD中，BP2=x2+32，在Rt△CEP中，CP2=（x+2）2+12，由BP=CP，求出x的值，即可得出P點坐標；

（3）利用相似三角形的判定得出△Q1BC∽△ACO，進而結(jié)合圓周角定理得出Q點坐標．

（1）如圖1所示：

（2）如圖2，過點P做PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，連接PC、PE．

∵PD⊥AB，∴AD=BD=3．

∵OB=4，∴OD=OB-BD=1．

∴PE=OD=1．

設(shè)DP=x，則OE=PD=x．

在Rt△BPD中，BP2=x2+32．

在Rt△CEP中，CP2=（x+2）2+12．

∵BP=CP，

∴x2+32=（x+2）2+12．

解得：x=1．

∴點P坐標為（1，-1）．  

（3）如圖2，連接BP并延長到⊙P于一點Q1，連接CQ1，

則BQ1是直徑，

∴∠Q1CB=90°，

又∵∠CAB=∠CQ1B，

∴△Q1BC∽△ACO，

此時連接AQ1則∠Q1AB=90°，

∴Q1橫坐標為：-2，

∵AB=6，BQ1=2BP=2，

∴AQ1=2，

∴Q1（-2，-2），

同理構(gòu)造直角三角形CFQ2，

可得出：CF=6，CQ2=2，

∴FQ2=2，F(xiàn)O=4，

則Q2（2，-4），

綜上所述：⊙P上存在一點Q（-2，-2），（2，-4），使得△QBC與△AOC相似．

考點：圓的綜合題．