Question

如圖， Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，E為BC邊的中點(diǎn)，連接DE.

（1）求證：DE與⊙O 相切.

（2）若tanC=，DE=2，求AD的長(zhǎng)．

 

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接OD，BD，求出∠ADB＝∠BDC＝90°，推出DE＝BE＝CE，推出∠EDB＝∠EBD，∠OBD＝∠ODB，推出∠EDO＝∠EBO＝90°即可.

（2）由∠BDC=90°，E為BC邊的中點(diǎn)可得BC=4，在Rt△ABC中，由tanC＝可得AB=2，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=6，由△ABD∽△ACB可求得AD=.

試題解析：（1）如圖，連接BD、OD，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=∠BDC=90°.

∵E為BC邊的中點(diǎn)，∴DE=EC．∴∠1=∠C.

∵OA=OD，∴∠2=∠A.

∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C =90°．∴∠1+∠2 =90°.

∴∠ODE =90°．∴OD⊥DE于點(diǎn)D.

∵以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，∴D是半徑的外端.

∴DE與⊙O 相切．

（2）∵∠BDC=90°，E為BC邊的中點(diǎn)，∴ .

∵DE=2，∴BC=4.

在Rt△ABC中，tanC=，∴AB=BC·=2.

在Rt△ABC中，AC=，

又∵△ABD∽△ACB，∴，即.

∴AD=.

考點(diǎn)：1.切線的判定；2.圓周角定理；3.等腰三角形的性質(zhì)；4.三角形內(nèi)角和定理；5.直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；6.銳角三角函數(shù)定義；7.勾股定理；8.相似三角形的判定和性質(zhì).