Question

我們規(guī)定：形如 的函數(shù)叫做“奇特函數(shù)”.當(dāng)時(shí)，“奇特函數(shù)”就是反比例函數(shù).

（1） 若矩形的兩邊長(zhǎng)分別是2和3，當(dāng)這兩邊長(zhǎng)分別增加x和y后，得到的新矩形的面積為8 ，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷這個(gè)函數(shù)是否為“奇特函數(shù)”；

（2） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（9，0）、（0，3）．點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，連結(jié)OB，CD交于點(diǎn)E，“奇特函數(shù)”的圖象經(jīng)過B，E兩點(diǎn).

① 求這個(gè)“奇特函數(shù)”的解析式；

② 把反比例函數(shù)的圖象向右平移6個(gè)單位，再向上平移 個(gè)單位就可得到①中所得“奇特函數(shù)”的圖象.過線段BE中點(diǎn)M的一條直線l與這個(gè)“奇特函數(shù)”的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，若以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

 

Answer 1

（1），是 “奇特函數(shù)”；（2）①；②或或或.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意列式并化為，根據(jù)定義作出判斷.

（2）①求出點(diǎn)B，D的坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法求出直線OB解析式和直線CD解析式，二者聯(lián)立即可得點(diǎn)E 的坐標(biāo)，將B（9，3），E（3，1）代入函數(shù)即可求得這個(gè)“奇特函數(shù)”的解析式.

②根據(jù)題意可知，以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形BPEQ或BQEP，據(jù)此求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：（1）根據(jù)題意，得，

∵，∴.∴.

根據(jù)定義，是 “奇特函數(shù)”.

（2）①由題意得，.

易得直線OB解析式為，直線CD解析式為，

由解得.∴點(diǎn)E（3，1）.

將B（9，3），E（3，1）代入函數(shù)，得，整理得，解得.

∴這個(gè)“奇特函數(shù)”的解析式為.

②∵可化為，

∴根據(jù)平移的性質(zhì)，把反比例函數(shù)的圖象向右平移6個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位就可得到.

∴關(guān)于點(diǎn)（6，2）對(duì)稱.

∵B（9，3），E（3，1），∴BE中點(diǎn)M（6，2），即點(diǎn)M是的對(duì)稱中心.

∴以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形BPEQ或BQEP.

由勾股定理得，.

設(shè)點(diǎn)P到EB的距離為m，

∵以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為，

∴.

∴點(diǎn)P在平行于EB的直線上.

∵點(diǎn)P在上，

∴或.

解得.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或.

考點(diǎn)：1.新定義和閱讀理解型問題；2.平移問題；3.反比例函數(shù)的性質(zhì)；4.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.勾股定理；6.中心對(duì)稱的性質(zhì)；7.平行四邊形的判定和性質(zhì)；8.分類思想的應(yīng)用.