Question

如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的直角腰在y軸上，底邊OC在x軸上，且∠BCO=45°，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，4）．過點(diǎn)C作直線l∥y軸．以動點(diǎn)P為圓心，以1個單位長半徑的⊙P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度沿O-A-B的路線向點(diǎn)B運(yùn)動；同時直線l從點(diǎn)C出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移的過程中，直線l交x軸于點(diǎn)D，交線段CB或線段BO于點(diǎn)E，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，設(shè)動點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒．
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時，⊙P與BC所在的直線相切？
（3）當(dāng)t為何值是，以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？
（4）當(dāng)P在OA上運(yùn)動時（0≤t＜4）是否存在以B、P、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，求t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)求出A的坐標(biāo)，再過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，則BE=4，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CE的長，根據(jù)OC=OE+EC即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)經(jīng)過t秒，⊙P與BC所在的直線相切于點(diǎn)F，連接PF，根據(jù)勾股定理得出FB的長，再由t=OA+AB-PB即可得出結(jié)論；
（3）當(dāng)P在OA上運(yùn)動時，根據(jù)S_△PBD=S_梯形OABC-S_△APB-S_△DPO-S_△BCD=8可得出關(guān)于t的解析式，求出t的值；當(dāng)P在AB上運(yùn)動，根據(jù)S_△PBD=

1

2

×（7-t）×4=8即可得出t的值；
（4）先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式用t表示出BP，BE，PE的值，再根據(jù)BP=BE；BP=PE；BE=PE三種情況進(jìn)行分類討論．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是直角梯形，∠AOC=90°，B（3，4），
∴A（0，4），
過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，則BE=4，
∵∠BCO=45°，
∴OC=BE=4，
∴OC=OE+EC=3+4=7，
∴C（7，0）；

（2）設(shè)經(jīng)過t秒，⊙P與BC所在的直線相切于點(diǎn)F，如圖2，連接PF，則∠PFB=90°．
∵AB∥OC，∠BCO=45°，
∴∠FBP=45°，即：PF=FB=1，
由勾股定理可得：PB=

2

∴t=OA+AB-PB=（7-

2

）秒；

（3）如圖3，當(dāng)P在OA上運(yùn)動時，0≤t＜4．
由S_△PBD=S_梯形OABC-S_△APB-S_△DPO-S_△BCD=8，得

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2

×（3+7）×4-

1

2

×3×（4-t）-

1

2

t（7-t）-

1

2

t×4=8．
整理，得t²-8t+12=0，解之得t₁=2，t₂=6（舍）
如圖4，當(dāng)P在AB上運(yùn)動，4≤t＜7．
由S_△PBD=

1

2

×（7-t）×4=8，得t=3（舍）
∴當(dāng)t=2時，以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形的面積為8．

（4）存在，如圖5，當(dāng)P在OA上運(yùn)動時，0≤t＜4．
∴BP=

(4-t)2+32

，BE=4

2

-

2

t，PE=7-t
當(dāng)BP=BE時，（4-t）²+3²=2（4-t）²，
整理得，t²-8t+7=0．
∴t=1，t=7（舍）
當(dāng)BP=PE時，（4-t）²+3²=（7-t）²，
整理得，6t=24．
∴t=4（舍）
當(dāng)BE=PE時，2（4-t）²=（7-t）²，
整理得，t²-2t-17=0，
∴t=1±3

2

（舍）．即：當(dāng)t=1時，以B、P、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

點(diǎn)評：本題考查的是圓的綜合題，此題涉及到直角梯形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式等知識，難度適中．