【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,m),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(n,﹣n),拋物線經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn),連接OA、OB、AB,線段AB交y軸于點(diǎn)C.已知實(shí)數(shù)m、n(m<n)分別是方程x2﹣2x﹣3=0的兩根.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)O、B重合),直線PC與拋物線交于D、E兩點(diǎn)(點(diǎn)D在y軸右側(cè)),連接OD、BD.
①當(dāng)△OPC為等腰三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②求△BOD 面積的最大值,并寫出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2+x;(2)①P點(diǎn)坐標(biāo)為P1(,-)或P2(,﹣)或P3(,﹣),②D(,﹣).
【解析】試題分析:(1)首先解方程得出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可;
(2)①首先求出AB的直線解析式,以及BO解析式,再利用等腰三角形的性質(zhì)得出當(dāng)OC=OP時(shí),當(dāng)OP=PC時(shí),點(diǎn)P在線段OC的中垂線上,當(dāng)OC=PC時(shí)分別求出x的值即可;
②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出關(guān)于x的二次函數(shù),進(jìn)而得出最值即可.
試題解析:解(1)解方程x2﹣2x﹣3=0,
得 x1=3,x2=﹣1.
∵m<n,
∴m=﹣1,n=3
∴A(﹣1,﹣1),B(3,﹣3).
∵拋物線過(guò)原點(diǎn),設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx(a≠0).
∴,
解得: ,
∴拋物線的解析式為y=x2+x .
(2)①設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b.
∴;解得: ,
∴直線AB的解析式為y=x+.
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-).
∵直線OB過(guò)點(diǎn)O(0,0),B(3,﹣3),
∴直線OB的解析式為y=﹣x.
∵△OPC為等腰三角形,
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC.
設(shè)P(x,﹣x),
(i)當(dāng)OC=OP時(shí),x2+(-x)2=.
解得x1=,x2=-,(舍去).
∴P1(,-).
(ii)當(dāng)OP=PC時(shí),點(diǎn)P在線段OC的中垂線上,
∴P2(,﹣).
(iii)當(dāng)OC=PC時(shí),由x2+(-x+)2=,
解得x1=,x2=0(舍去).
∴P3(,﹣).
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P1(,-)或P2(,﹣)或P3(,﹣).
②過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸,垂足為G,交OB于Q,過(guò)B作BH⊥x軸,垂足為H.
設(shè)Q(x,﹣x),D(x,-x2+x).
S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQOG+DQGH,
=DQ(OG+GH),
= [x+(+ )]×3,
=-(x-)2+,
∵0<x<3,
∴當(dāng)x=時(shí),S取得最大值為,此時(shí)D(,﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某修理廠需要購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種配件,經(jīng)調(diào)查,每個(gè)甲種配件的價(jià)格比每個(gè)乙種配件的價(jià)格少0.4萬(wàn)元,且用16萬(wàn)元購(gòu)買的甲種配件的數(shù)量與用24萬(wàn)元購(gòu)買的乙種配件的數(shù)量相同.
(1)求每個(gè)甲種配件、每個(gè)乙種配件的價(jià)格分別為多少萬(wàn)元;
(2)現(xiàn)投入資金80萬(wàn)元,根據(jù)維修需要預(yù)測(cè),甲種配件要比乙種配件至少要多22件,問(wèn)乙種配件最多可購(gòu)買多少件.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】嘉淇乘坐一艘游船出海游玩,游船上的雷達(dá)掃描探測(cè)得到的結(jié)果如圖所示,每相鄰兩個(gè)圓之間距離是1km (最小圓的半徑是1km ),下列關(guān)于小艇 A , B 的位置描述,正確的是( )
A.小艇 A 在游船的北偏東60°方向上,且與游船的距離是3km
B.游船在小艇 A 的南偏西60°方向上,且與小艇 A 的距離是3km
C.小艇 B 在游船的北偏西30°方向上,且與游船的距離是 2km
D.游船在小艇 B 的南偏東60°方向上,且與小艇 B 的距離是 2km
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市環(huán)保局決定購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的掃地車共40輛,對(duì)城區(qū)所有公路地面進(jìn)行清掃.已知1輛A型掃地車和2輛B型掃地車每周可以處理地面垃圾100噸,2輛A型掃地車和1輛B型掃地車每周可以處理垃圾110噸.
(1)求A、B兩種型號(hào)的掃地車每輛每周分別可以處理垃圾多少噸?
(2)已知A型掃地車每輛價(jià)格為25萬(wàn)元,B型掃地車每輛價(jià)格為20萬(wàn)元,要想使環(huán)保局購(gòu)買掃地車的資金不超過(guò)910萬(wàn)元,但每周處理垃圾的量又不低于1400噸,請(qǐng)你列舉出所有購(gòu)買方案,并指出哪種方案所需資金最少?最少資金是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察下列等式,探究其中規(guī)律.
第1個(gè)等式:;
第2個(gè)等式:
第3個(gè)等式:
……
(1)第4個(gè)等式: (直接填寫結(jié)果);
(2)根據(jù)以上規(guī)律請(qǐng)計(jì)算:;
(3)通過(guò)以上規(guī)律請(qǐng)猜想寫出: (直接填寫結(jié)果).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校七年級(jí)社會(huì)實(shí)踐小組去某商場(chǎng)調(diào)查商品的銷售情況,了解到該商場(chǎng)以每件80元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)了某品牌襯衫500件,并以每件120元的價(jià)格銷售了400件,商場(chǎng)準(zhǔn)備采取促銷措施,將剩下的襯衫降價(jià)銷售.
(1)每件襯衫降價(jià)多少元時(shí),銷售完這批襯衫正好達(dá)到盈利45%的預(yù)期目標(biāo)?
(2)在(1)的條件下,某公司給員工發(fā)福利,在該商場(chǎng)促銷錢購(gòu)買了20件該品牌的襯衫發(fā)給員工,后因?yàn)橛行聠T工加入,又要購(gòu)買5件該襯衫,購(gòu)買這5件襯衫時(shí)恰好趕上該商場(chǎng)進(jìn)行促銷活動(dòng),求該公司購(gòu)買這25件襯衫的平均價(jià)格.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,點(diǎn)分別在射線上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)重合)
觀察:
(1)如圖1,若和的平分線交于點(diǎn),_____°
猜想:
(2)如圖2,隨著點(diǎn)分別在射線上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)重合). 若是的平分線,的反向延長(zhǎng)線與的平分線交于點(diǎn), 的大小會(huì)變嗎?如果不會(huì),求的度數(shù);如果會(huì)改變,說(shuō)明理由.
拓展:
(3)如圖3,在(2)基礎(chǔ)上,小明將沿折疊,使點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)′的位置,求的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人相約元旦登山,甲、乙兩人距地面的高度y(m)與登山時(shí)間x(min)之間的函數(shù)圖像如圖所示,根據(jù)圖像所提供的信息解答下列問(wèn)題:
(1)t= min.
(2)若乙提速后,乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍,
①則甲登山的的上升速度是 m/min;
②請(qǐng)求出甲登山過(guò)程中,距地面的高度y(m)與登山時(shí)間x(min)之間的函數(shù)關(guān)系式.
③當(dāng)甲、乙兩人距地面高度差為70m時(shí),求x的值(直接寫出滿足條件的x值).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,∠B=∠AFE,EA是∠BEF的平分線,求證:
(1)△ABE≌△AFE;
(2)∠FAD=∠CDE.
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