Question

【題目】如圖，拋物線，經(jīng)過點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）連接AC、BC，N為拋物線上的點(diǎn)且在第一象限，當(dāng)時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）我們通常用表示整數(shù)的最大公約數(shù)，例如. 若，則稱a、b互素，關(guān)于最大公約數(shù)有幾個(gè)簡單的性質(zhì)：①，其中k為任意整數(shù)；②； 若點(diǎn)滿足：a，b均為正整數(shù)，且，則稱Q點(diǎn)為“互素正整點(diǎn)”，當(dāng)時(shí)，該拋物線上有多少個(gè)“互素正整點(diǎn)”？

Answer 1

【答案】（1）拋物線的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為；（2）N（4，5）；（3）在時(shí)，該拋物線上有65個(gè)“互素正整點(diǎn)”

【解析】

（1）將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入中即可得到答案；

（2）設(shè)，求得直線NC的解析式為y=（t-2）x-3，設(shè)設(shè)直線CN與x軸交于點(diǎn)D，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)即可列式計(jì)算得出點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）拋物線上的任意正整點(diǎn)R(橫縱坐標(biāo)為正整數(shù)的點(diǎn))可以表示為，得到，找到符合條件的值即可得到答案.

（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，-3），

解得：，

∴=,

拋物線的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為；

（2）∵N是拋物線上第一象限的點(diǎn)，

∴設(shè)（t＞0），又點(diǎn)C（0，-3），

設(shè)直線NC的解析式為，N在直線NC上，

解得k=t-2

∴直線NC的解析式為y=（t-2）x-3，

設(shè)直線CN與x軸交于點(diǎn)D，

當(dāng)y=0時(shí)，x=，

∴D（，0），BD=3﹣，

∵S△NBC=S△ABC，

∴S△CDB+S△BDN=ABOC，即BD|yC﹣yN|= [3﹣（﹣1）]×3，

即×（3﹣）[3﹣（﹣t2+2t+3）]=6，

整理，得：t2﹣3t﹣4=0，

解得：t1=4，t2=﹣1（舍去），

當(dāng)t=4時(shí)，t2-2t-3=5，

∴N（4，5）；

(3)拋物線上的任意正整點(diǎn)R(橫縱坐標(biāo)為正整數(shù)的點(diǎn))可以表示為：

，t為正整數(shù)，且，

由性質(zhì)①②，t與的最大公約數(shù)，

，

即只需滿足即可，又因?yàn)?/span>3是素?cái)?shù)，當(dāng)且僅當(dāng)t不是3的倍數(shù)時(shí)，t與3互素，

在4到100共97個(gè)數(shù)中，總共有32個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，

故共有65個(gè)數(shù)不是3的倍數(shù)，滿足，

即在時(shí)，該拋物線上有65個(gè)“互素正整點(diǎn)”.