Question

（本題12分）已知，如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的橫坐標恰好是方程的解，點C的縱坐標恰好是方程的解，點P從C點出發(fā)沿y軸正方向以1個單位/秒的速度向上運動，連PA、PB，D為AC的中點.

1）求直線BC的解析式；

2）設點P運動的時間為t秒，問：當t為何值時，DP與DB垂直且相等？

3）如圖2，若PA=AB，在第一象限內有一動點Q，連QA、QB、QP，且∠PQA=60°，問：當Q在第一象限內運動時，∠APQ+∠ABQ的度數(shù)和是否會發(fā)生改變？若不變，請說明理由并求其值.

Answer 1

（1）直線BC的解析式為y=-x+2；

（2）當t=2秒，即CP=OC時，DP與DB垂直且相等；

（3）當Q在第一象限內運動時，∠APQ+∠ABQ的度數(shù)和不會發(fā)生改變， 為180°．理由見解析；

【解析】

試題分析：（1）解方程可求出A（-2，0），B（2，0），C（0，2），再設直線BC的解析式為y=kx+b，將B、C兩點的坐標代入，用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；

（2）當t=2秒，即CP=OC時，DP與DB垂直且相等．為此，作DM⊥x軸于點M，作DN⊥y軸于點N，根據(jù)等腰直角三角形及角平分線的性質，利用SAS證明△PCD≌△BOD，則DP=DB，∠PDC=∠BDO，進而得到∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB；

（3）在QA上截取QS=QP，連接PS，利用∠PQA=60°，得出△QSP是等邊三角形，進而得出△APS≌△BPQ，從而得出∠APQ+∠ABQ=60°+∠APQ+∠PAS=180°得出答案．

試題解析：（1）解方程x2-4=0得，x1=-2，x2=2，所以A（-2，0）、B（2，0），

解方程x2-4x+4=0得x1=x2=2，所以C（0，2），

設直線BC的解析式為y=kx+b，將B、C兩點的坐標代入，

得，解得，

∴直線BC的解析式為y=-x+2；

（2）當t=2秒，即CP=OC時，DP與DB垂直且相等．理由如下：

如圖1，連接OD，作DM⊥x軸于點M，作DN⊥y軸于點N，

∵A（-2，0），C（0，2），

∴△OAC是等腰直角三角形，

∵D為AC的中點，

∴OD平分∠AOC，OD=DC=AC，

∴DM=DN=OM=ON=m．

在△PCD與△BOD中，

，

∴△PCD≌△BOD （SAS），

∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，

∴∠BDP=∠ODC=90°，

即DP⊥DB；

（3）當Q在第一象限內運動時，∠APQ+∠ABQ的度數(shù)和不會發(fā)生改變．理由如下：

如圖2，在QA上截取QS=QP，連接PS，

∵∠PQA=60°，

∴△QSP是等邊三角形，

∴PS=PQ，∠SPQ=60°，

∵PO是AB的垂直平分線，

∴PA=PB，而PA=AB，

∴PA=PB=AB，

∴∠APB=∠ABP=60°，

∴∠APS=∠BPQ，

∴△APS≌△BPQ（SAS），

∴∠PAS=∠PBQ，

∴∠APQ+∠ABQ

=∠APQ+（∠ABP+∠PBQ）

=60°+（∠APQ+∠PBQ）

=60°+（∠APQ+∠PAS）=60°+120°=180°；

考點：1、待定系數(shù)法；2、全等三角形的判定與性質；3、等腰直角三角形的判定與性質；4、等邊三角形的性質與判定

考點分析： 考點1：一元二次方程 定義：
只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：
它的特征是：等式左邊是一個關于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中 ax²叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。 試題屬性

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