Question

【題目】已知：△ABC和△ADE按如圖所示方式放置，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，連接BD、CD和CE，且∠DCE＝90°．

（1）如圖①，當(dāng)△ABC和△ADE均為等邊三角形時(shí)，試確定AD、BD、CD三條線段的關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖②，當(dāng)BA＝BC＝2AC，DA＝DE＝2AE時(shí)，試確定AD、BD、CD三條線段的關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖③，當(dāng)AB：BC：AC＝AD：DE：AE＝m：n：p時(shí)，請(qǐng)直接寫出AD、BD、CD三條線段的關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）CD2+BD2＝AD2，理由見解析；（2）CD2+BD2＝AD2，理由見解析；（3）（mCD）2+（pBD）2＝（nAD）2

【解析】

（1）先判斷出∠BAD＝∠CAE，進(jìn)而判斷出△ABD≌△ACE，最后用勾股定理即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出△ABC∽△ADE，進(jìn)而得出∠BAC＝∠DAE，即可判斷出△BAD∽△CAE，最后用勾股定理即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出△ABC∽△ADE，進(jìn)而得出∠BAC＝∠DAE，即可判斷出△BAD∽△CAE，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．

解：（1）CD2+BD2＝AD2，

理由：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，

在Rt△DCE中，

CD2+CE2＝DE2，

∴CD2+BD2＝AD2，

（2）CD2+BD2＝AD2，

理由：∵BA＝BC＝2AC，DA＝DE＝2AE，

∴，

∴△ABC∽△ADE，

∴∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵，

∴△BAD∽△CAE，

∴＝2，

∴BD＝2CE，

在Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2，

∴CD2+BD2＝AD2，

（3）（mCD）2+（pBD）2＝（nAD）2，

理由：∵AB：BC：AC＝AD：DE：AE＝m：n：p，

∴DE＝AD，△ABC∽△ADE，

∴∠BAC＝∠DAE，

∵，

∴△ABD∽△ACE，

∴，

∴CE＝BD，

在Rt△DCE中，CD2+CE2＝DE2，

∴CD2+BD2＝AD2，

∴（mCD）2+（pBD）2＝（nAD）2