Question

如圖，已知拋物線y_＝ax ²＋bx＋c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q（2，－1），且與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A不重合），過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸，交AC于點(diǎn)D．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在題（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問(wèn)是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

．解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為Q（2，-1）設(shè)
將C（0，3）代入上式，得         
∴            即。

2）分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)P₁為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P₁與點(diǎn)B重合（如圖）
令y=0，得        解得：，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊， ∴B（1，0），A（3，0） ∴P₁（1，0）    …………… 5分
②當(dāng)點(diǎn)A為△APD₂的直角頂點(diǎn)時(shí)（如圖）

 ∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAD₂=45°
當(dāng)∠D₂AP₂=90°時(shí)，∠OAP₂=45°， ∴AO平分∠D₂AP₂ 
又∵P₂D₂∥y軸，    ∴P₂D₂⊥AO，     ∴P₂、D₂關(guān)于x軸對(duì)稱………………… 6分
設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為
將A（3，0）， C（0，3）代入上式得， ∴      ∴
∵D₂在上，P₂在上

∴設(shè)D₂（x，-x+3），P₂（x，） 
∴（）+（）=0 ， ∴，（舍） 
∴當(dāng)x=2時(shí)，==-1 
∴P₂的坐標(biāo)為P₂（2，-1）（即為拋物線頂點(diǎn)）

 ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P₁（1，0），P₂（2，-1）

（3）由題（2）知，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（1，0）時(shí)，不能構(gòu)成平行四邊形   

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₂（2，-1）（即頂點(diǎn)Q）時(shí)，平移直線AP（如圖）交x軸于點(diǎn)E，交拋物線

于點(diǎn)F。當(dāng)AP=FE時(shí)，四邊形PAFE是平行四邊形 
∵P（2，-1）， ∴可令F（x，1） ∴ 
解之得：，
∴F點(diǎn)有兩點(diǎn)，即F₁（，1），F(xiàn)₂（，1）