Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB邊上有一動點(diǎn)P(不與A、B重合)，連結(jié)DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點(diǎn)E，設(shè)AP=x．

⑴當(dāng)x為何值時，△APD是等腰三角形?

⑵若設(shè)BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

⑶若BC的長可以變化，在現(xiàn)在的條件下，是否存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C?若存在，求出相應(yīng)的AP的長；若不存在，請說明理由，并直接寫出當(dāng)BC的長在什么范圍內(nèi)時，可以存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C．

 

Answer 1

．

【解析】

試題分析：（1）過D點(diǎn)作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP為等腰三角形，則分三種情況：①當(dāng)AP=AD時，x=AP=AD，②當(dāng)AD=PD時，有AH=PH，故x=AH+PH，③當(dāng)AP=PD時，則在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．

（2）易證：△DPH∽△PEB?，即，故可求得y與x的關(guān)系式．

（3）利用△DPH∽△PEB，得出，進(jìn)而利用根的判別式和一元二次不等式解集得出即可．

試題解析：（1）過D點(diǎn)作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，

∴DH=BC=4，HB=CD=6．

∴AH=2，AD=2．

∵AP=x，

∴PH=x﹣2，

情況①：當(dāng)AP=AD時，即x=2．

情況②：當(dāng)AD=PD時，則AH=PH．

∴2=x﹣2，解得x=4．

情況③：當(dāng)AP=PD時，

則Rt△DPH中，x2=42+（x﹣2）2，解得x=5．

∵2＜x＜8，

∴當(dāng)x為2、4、5時，△APD是等腰三角形．

（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，

∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°．

∴∠HDP=∠EPB．

又∵∠DHP=∠B=90°，

∴△DPH∽△PEB．

∴，

∴．

整理得：y=（x﹣2）（8﹣x）=﹣x2+x﹣4；

（3）存在．

設(shè)BC=a，則由（2）得△DPH∽△PEB，

∴，

∴y=，

當(dāng)y=a時，

（8﹣x）（x﹣2）=a2

x2﹣10x+（16+a2）=0，

∴△=100﹣4（16+a2），

∵△≥0，

∴100﹣64﹣4a2≥0，

4a2≤36，

又∵a＞0，

∴a≤3，

∴0＜a≤3，

∴滿足0＜BC≤3時，存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過C．

考點(diǎn)：1.一元二次方程2.相似三角形的判定與性質(zhì)．