Question

【題目】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱，再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱，如此作下去，則△B20A21B21的頂點(diǎn)A21的坐標(biāo)是_____．

Answer 1

【答案】（41，）

【解析】

首先根據(jù)△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，可得A1的坐標(biāo)為（1，），B1的坐標(biāo)為（2，0）；然后根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，分別求出點(diǎn)A2、A3、A4的坐標(biāo)各是多少；最后總結(jié)出An的坐標(biāo)的規(guī)律，求出A2n+1的坐標(biāo)是多少即可解決問(wèn)題．

∵△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

∴A1的坐標(biāo)為（1，），B1的坐標(biāo)為（2，0），

∵△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱，

∴點(diǎn)A2與點(diǎn)A1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱，

∵2×2-1=3，2×0-=-，

∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)是（3，-），

∵△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱，

∴點(diǎn)A3與點(diǎn)A2關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱，

∵2×4-3=5，2×0-（-）=，

∴點(diǎn)A3的坐標(biāo)是（5，），

∵△B3A4B4與△B3A3B2關(guān)于點(diǎn)B3成中心對(duì)稱，

∴點(diǎn)A4與點(diǎn)A3關(guān)于點(diǎn)B3成中心對(duì)稱，

∵2×6-5=7，2×0-=-，

∴點(diǎn)A4的坐標(biāo)是（7，-），

…，

∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×3-1，…，

∴An的橫坐標(biāo)是2n-1，A2n+1的橫坐標(biāo)是2（2n+1）-1=4n+1，

∵當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，An的縱坐標(biāo)是，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，An的縱坐標(biāo)是-，

∴頂點(diǎn)A2n+1的縱坐標(biāo)是，

∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整數(shù)）的頂點(diǎn)A2n+1的坐標(biāo)是（4n+1，），

∴△B20A21B21的頂點(diǎn)A21的坐標(biāo)（41，）．