【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=x2+bx+cb,c為常數(shù)的頂點(diǎn)為P,等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,﹣1,C的坐標(biāo)為4,3,直角頂點(diǎn)B在第四象限.

1如圖,若該拋物線過(guò)A,B兩點(diǎn),求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

2平移1中的拋物線,使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng),且與AC交于另一點(diǎn)Q.

i若點(diǎn)M在直線AC下方,且為平移前1中的拋物線上的點(diǎn),當(dāng)以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí),求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);

ii取BC的中點(diǎn)N,連接NP,BQ.試探究是否存在最大值?若存在,求出該最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1y=x2+2x﹣12i:M14,﹣1,M2﹣2,﹣7,M31+,﹣2+,M41﹣,﹣2﹣;ii:

【解析】

試題分析:1先求出點(diǎn)B的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

2i首先求出直線AC的解析式和線段PQ的長(zhǎng)度,作為后續(xù)計(jì)算的基礎(chǔ).

MPQ為等腰直角三角形,則可分為以下兩種情況:

①當(dāng)PQ為直角邊時(shí):點(diǎn)M到PQ的距離為.此時(shí),將直線AC向右平移4個(gè)單位后所得直線y=x﹣5與拋物線的交點(diǎn),即為所求之M點(diǎn);

②當(dāng)PQ為斜邊時(shí):點(diǎn)M到PQ的距離為.此時(shí),將直線AC向右平移2個(gè)單位后所得直線y=x﹣3與拋物線的交點(diǎn),即為所求之M點(diǎn).

iii可知,PQ=為定值,因此當(dāng)NP+BQ取最小值時(shí),有最大值.

如答圖2所示,作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B′,由分析可知,當(dāng)B′、Q、FAB中點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí),NP+BQ最小,最小值為線段B′F的長(zhǎng)度.

試題解析:1等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,﹣1,C的坐標(biāo)為4,3

點(diǎn)B的坐標(biāo)為4,﹣1

拋物線過(guò)A0,﹣1,B4,﹣1兩點(diǎn),

,解得:b=2,c=﹣1,

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y=x2+2x﹣1.

2方法一:

iA0,﹣1,C4,3

直線AC的解析式為:y=x﹣1.

設(shè)平移前拋物線的頂點(diǎn)為P0,則由1可得P0的坐標(biāo)為2,1,且P0在直線AC上.

點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng),可設(shè)P的坐標(biāo)為m,m﹣1,

則平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y=x﹣m2+m﹣1.

解方程組:,

解得,

Pm,m﹣1,Qm﹣2,m﹣3

過(guò)點(diǎn)P作PEx軸,過(guò)點(diǎn)Q作QFy軸,則

PE=m﹣m﹣2=2,QF=m﹣1m﹣3=2.

PQ==AP0

若以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則可分為以下兩種情況:

①當(dāng)PQ為直角邊時(shí):點(diǎn)M到PQ的距離為即為PQ的長(zhǎng)

由A0,﹣1,B4,﹣1,P02,1可知,

ABP0為等腰直角三角形,且BP0AC,BP0=

如答圖1,過(guò)點(diǎn)B作直線l1AC,交拋物線y=x2+2x﹣1于點(diǎn)M,則M為符合條件的點(diǎn).

可設(shè)直線l1的解析式為:y=x+b1,

B4,﹣1,﹣1=4+b1,解得b1=﹣5,

直線l1的解析式為:y=x﹣5.

解方程組,得:,

M14,﹣1,M2﹣2,﹣7

②當(dāng)PQ為斜邊時(shí):MP=MQ=2,可求得點(diǎn)M到PQ的距離為

如答圖2,取AB的中點(diǎn)F,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為2,﹣1

由A0,﹣1,F(xiàn)2,﹣1,P02,1可知:

AFP0為等腰直角三角形,且點(diǎn)F到直線AC的距離為

過(guò)點(diǎn)F作直線l2AC,交拋物線y=x2+2x﹣1于點(diǎn)M,則M為符合條件的點(diǎn).

可設(shè)直線l2的解析式為:y=x+b2

F2,﹣1,﹣1=2+b2,解得b2=﹣3,

直線l2的解析式為:y=x﹣3.

解方程組,得:

M31+,﹣2+,M41﹣,﹣2﹣

綜上所述,所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為:

M14,﹣1,M2﹣2,﹣7,M31+,﹣2+,M41﹣,﹣2﹣

方法二:

A0,1,C4,3,

lAC:y=x﹣1,

拋物線頂點(diǎn)P在直線AC上,設(shè)Pt,t﹣1

拋物線表達(dá)式:

lAC與拋物線的交點(diǎn)Qt﹣2,t﹣3,

一M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,Pt,t﹣1,

①當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí),Mt,t﹣3,

t=1±,

M11+﹣2,M21﹣,﹣2﹣,

②當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M可視為點(diǎn)P繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而成,

將點(diǎn)Qt﹣2,t﹣3平移至原點(diǎn)Q′0,0,則點(diǎn)P平移后P′2,2

將點(diǎn)P′繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,則點(diǎn)M′2,﹣2,

將Q′0,0平移至點(diǎn)Qt﹣2,t﹣3,則點(diǎn)M′平移后即為點(diǎn)Mt,t﹣5

,

t1=4,t2=﹣2,

M14,﹣1,M2﹣2,﹣7

③當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí),同理可得M14,﹣1,M2﹣2,﹣7

綜上所述,所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為:

M14,﹣1,M2﹣2,﹣7,M31+,﹣2+,M41﹣,﹣2﹣

ii存在最大值.理由如下:

i知PQ=為定值,則當(dāng)NP+BQ取最小值時(shí),有最大值.

如答圖2,取點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′,易得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為0,3,BQ=B′Q.

連接QF,F(xiàn)N,QB′,易得FNPQ,且FN=PQ,

四邊形PQFN為平行四邊形.

NP=FQ.

NP+BQ=FQ+B′QFB′=

當(dāng)B′、Q、F三點(diǎn)共線時(shí),NP+BQ最小,最小值為

的最大值為=

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