Question

某商業(yè)公司為指導(dǎo)某種應(yīng)季商品的生產(chǎn)和銷售，對三月份至七月份該商品的銷售和生產(chǎn)進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如下：一件商品的售價(jià)M（元）與時(shí)間t（月）的關(guān)系可用一條線段上的點(diǎn)來表示（如圖1）；一件商品的成本Q（元）與時(shí)間t（月）的關(guān)系可用一條拋物線上的點(diǎn)來表示，其中6月份成本最高（如圖2）．

（1）一件商品在3月份出售時(shí)的利潤是多少元？（利潤=售價(jià)﹣成本）

（2）求圖2中表示一件商品的成本Q（元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利潤W（元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式嗎？若該公司能在一個(gè)月內(nèi)售出此種商品30 000件，請你計(jì)算一下該公司在一個(gè)月內(nèi)最少獲利多少元？

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．

【專題】數(shù)形結(jié)合．

【分析】（1）從圖易知3月份每件商品售價(jià)6元，成本1元，易求利潤；

（2）根據(jù)圖象特征拋物線的頂點(diǎn)為（6，4），可設(shè)拋物線的解析式為Q=a（t﹣6）²+4，將點(diǎn)（3，1）代入可得出函數(shù)解析式．

（3）根據(jù)利潤的計(jì)算方法，顯然需求直線解析式，再求差，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)計(jì)算利潤．

【解答】解：（1）由圖象知：3月份每件商品售價(jià)6元，成本1元，

故可得，一件商品在3月份出售時(shí)的利潤為5元．

（2）由圖知，拋物線的頂點(diǎn)為（6，4），

故可設(shè)拋物線的解析式為Q=a（t﹣6）²+4．

∵拋物線過（3，1）點(diǎn)，

∴a（3﹣6）²+4=1．

解得．

故拋物線的解析式為Q=﹣（t﹣6）²+4，

即，其中t=3，4，5，6，7．

（3）設(shè)每件商品的售價(jià)M（元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式為M=kt+b．

∵線段經(jīng)過（3，6）、（6，8）兩點(diǎn)，

∴

解得

∴，其中t=3，4，5，6，7．

故可得：一件商品的利潤W（元）與時(shí)間t（月）的函數(shù)關(guān)系式為：W=M﹣Q==．

即，

其中t=3，4，5，6，7．

當(dāng)t=5時(shí)，W有最小值為元，

即30000件商品一個(gè)月內(nèi)售完至少獲利=110000（元）．

答：該公司一個(gè)月內(nèi)至少獲利110000元．

【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的知識，難點(diǎn)在第3個(gè)問題：表示利潤，注意配方法求二次函數(shù)最值的應(yīng)用，難度較大．