Question

如圖，拋物線(xiàn)y=-x²+2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）直接寫(xiě)出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；
（2）連結(jié)BC，與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線(xiàn)段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①用含m的代數(shù)式表示線(xiàn)段PF的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形？
②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系．
（3）在以上條件下，四邊形PEDF可能是等腰梯形嗎？如果可能，直接寫(xiě)出m的值；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）已知了拋物線(xiàn)的解析式，當(dāng)y=0時(shí)可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)x=0時(shí)，可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸x=-

b

2a

可得出對(duì)稱(chēng)軸的解析式．
（2）①PF的長(zhǎng)就是當(dāng)x=m時(shí)，拋物線(xiàn)的值與直線(xiàn)BC所在一次函數(shù)的值的差．可先根據(jù)B，C的坐標(biāo)求出BC所在直線(xiàn)的解析式，然后將m分別代入直線(xiàn)BC和拋物線(xiàn)的解析式中，求得出兩函數(shù)的值的差就是PF的長(zhǎng)．
根據(jù)直線(xiàn)BC的解析式，可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式，可求出DE的長(zhǎng)，然后讓PF=DE，即可求出此時(shí)m的值．
②可將三角形BCF分成兩部分來(lái)求：
一部分是三角形PFC，以PF為底邊，以P的橫坐標(biāo)為高即可得出三角形PFC的面積．
一部分是三角形PFB，以PF為底邊，以P、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高，即可求出三角形PFB的面積．
然后根據(jù)三角形BCF的面積=三角形PFC的面積+三角形PFB的面積，可求出關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式．
（3）把△BCF分割為兩個(gè)共底FP的三角形，高的和等于OB．

解答：解：（1）令y=0，則-x²+2x+3=-（x+1）（x-3）=0，
解得，x=-1或x=3，則A（-1，0），B（3，0）．
所以，對(duì)稱(chēng)軸是x=

3-1

2

=1．
令x=0，則y=0，則C（0，3）．
綜上所述，A（-1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x=1；

（2）①設(shè)直線(xiàn)BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b（k≠0）．
把B（3，0），C（0，3）分別代入得：

3k+b=0  b=3

，
解得：k=-1，b=3．
所以直線(xiàn)BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+3．
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x²+2x+3中，當(dāng)x=1時(shí)，y=4．
∴D（1，4）
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3）
∴線(xiàn)段DE=4-2=2，
線(xiàn)段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m
∵PF∥DE，
∴當(dāng)PF=ED時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．
由-m²+3m=2，解得：m₁=2，m₂=1（不合題意，舍去）．
因此，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．
②設(shè)直線(xiàn)PF與x軸交于點(diǎn)M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．
S=S△BCF=S△BPF+S△CPF=

1

2

FP•OM+

1

2

FP•BM=

1

2

(-m2+3m)×3=-

3

2

m2+

9

2

m．
m的變化范圍是0≤m≤3．

（3）如圖③，如果四邊形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此y_D-y_F=y_P-y_E．
于是4-（-m²+2m+3）=（-m+3）-2．
解得m₁=0（與點(diǎn)CE重合，舍去），m₂=1（與點(diǎn)E重合，舍去）．
因此四邊形PEDF不可能成為等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)二次函數(shù)得出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸的解析式是解題的基礎(chǔ)．