Question

【題目】（2016廣西柳州市）如圖，AB為△ABC外接圓⊙O的直徑，點(diǎn)P是線段CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在圓上且滿足=PAPC，連接CE，AE，OE，OE交CA于點(diǎn)D．

（1）求證：△PAE∽△PEC；

（2）求證：PE為⊙O的切線；

（3）若∠B=30°，AP=AC，求證：DO=DP．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似即可；
（2）連接BE，轉(zhuǎn)化出∠OEB=∠PCE，又由相似得出∠PEA=∠PCE，從而用直徑所對(duì)的圓周角是直角，轉(zhuǎn)化出∠OEP=90°即可；
（3）構(gòu)造全等三角形，先找出OD與PA的關(guān)系，再用等積式找出PE與PA的關(guān)系，從而判斷出OM=PE，得出△ODM≌△PDE即可．

（1）∵=PAPC，

∴，

∵∠APE=∠EPC，

∴△PAE∽△PEC；

（2）如圖1，連接BE，

∴∠OBE=∠OEB，

∵∠OBE=∠PCE，

∴∠OEB=∠PCE，

∵△PAE∽△PEC，

∴∠PEA=∠PCE，

∴∠PEA=∠OEB，

∵AB為直徑，∴∠AEB=90°，

∴∠OEB+∠OEA=90°，

∵∠PEA+∠OEA=90°，

∴∠OEP=90°，

∵點(diǎn)E在⊙O上，

∴PE是⊙O的切線；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于M，

∴AM=AC，

∵BC⊥AC，

∴OD∥BC，

∵∠ABC=30°，

∴∠AOD=30°，

∴OD=AM=AC，

∵AP=AC，

∴OD=AP，

∵PC=AC+AP=2AP+AP=3AP，

∴=PA×PC=PA×3PA，

∴PE=PA，

∴OD=PE，

∵∠PED=∠OMD=90°，∠ODM=∠PDE，

∴△ODM≌△PDE，

∴OD=DP．