【題目】如圖,點(diǎn)A、B、C分別是O上的點(diǎn),B=60°,AC=3,CD是O的直徑,P是CD延長線上的一點(diǎn),且AP=AC.

(1)求證:AP是O的切線;

(2)求PD的長.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

試題分析:(1)首先連接OA,由B=60°,利用圓周角定理,即可求得AOC的度數(shù),又由OA=OC,即可求得OACOCA的度數(shù),利用三角形外角的性質(zhì),求得AOP的度數(shù),又由AP=AC,利用等邊對(duì)等角,求得P,則可求得PAO=90°,則可證得AP是O的切線;

(2)由CD是O的直徑,即可得DAC=90°,然后利用三角函數(shù)與等腰三角形的判定定理,即可求得PD的長.

(1)證明:連接OA.

∵∠B=60°,

∴∠AOC=2B=120°,

OA=OC,

∴∠ACP=CAO=30°,

∴∠AOP=60°

AP=AC,

∴∠P=ACP=30°,

∴∠OAP=90°

OAAP,

APO的切線,

(2)解:連接AD.

CDO的直徑,

∴∠CAD=90°,

AD=ACtan30°=3×=,

∵∠ADC=B=60°,

∴∠PAD=ADCP=60°﹣30°=30°,

∴∠P=PAD,

PD=AD=

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