Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是3，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上一點(diǎn)，連接PA，將線(xiàn)段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段PE，在直線(xiàn)BA上取點(diǎn)F，使BF=BP，且點(diǎn)F與點(diǎn)E在BC同側(cè)，連接EF，CF．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證：四邊形PCFE是平行四邊形；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上時(shí)，四邊形PCFE是否還是平行四邊形，說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，四邊形PCFE的面積是否有最大值？若有，請(qǐng)求出面積的最大值及此時(shí)BP長(zhǎng)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°
∵在△PBA和△FBC中，AB=BC，∠PBA=∠FBC，BP=BF，
∴△PBA≌△FBC（SAS）�！郟A=FC，∠PAB=∠FCB。
∵PA=PE，∴PE=FC。
∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°。
∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°，即∠EPC+∠PCF=180°。
∴EP∥FC，∴四邊形EPCF是平行四邊形。
（2）結(jié)論：四邊形EPCF是平行四邊形，理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°。
∵在△PBA和△FCB中，AB=BC，∠PBA=∠FBC，BP=BF，
∴△PBA≌△FBC（SAS）。∴PA=FC，∠PAB=∠FCB。
∵PA=PE，∴PE=FC。
∵∠FCB+∠BFC=90°，∠EPB+∠APB=90°，∴∠BPE=∠FCB。
∴EP∥FC，∴四邊形EPCF是平行四邊形。
（3）有。
設(shè)BP=x，則PC=3﹣x ，平行四邊形PEFC的面積為S，
 。
∵a=﹣1＜0，∴拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下，
∴當(dāng)x=時(shí)，S最大=。
∴當(dāng)BP=時(shí)，四邊形PCFE的面積最大，最大值為。

試題分析：（1）由正方形的性質(zhì)可以得出AB=BC，∠ABP=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性質(zhì)就可以得出結(jié)論。
（2）由正方形的性質(zhì)可以得出AB=BC，∠FBC=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性質(zhì)就可以得出結(jié)論。
（3）設(shè)BP=x，則PC=3﹣x 平行四邊形PEFC的面積為S，由平行四邊形的面積公式就可以求出其解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出其最大值�！�