Question

如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，且AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD．
（1）求證：△ABC為等腰三角形；
（2）M是線段BD上一點(diǎn)，BM：AB=3：4，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上，連接FM，∠BFM的平分線FN交BD于點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)G，點(diǎn)H為BF中點(diǎn)，連接MH，當(dāng)GN=GD時(shí)，探究線段CD、FM、MH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,平行線的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠APE=∠ADE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠PAD=2β，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠AEB+∠CBE=90°，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠ABC=∠ACB，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得∠ABE=∠ACD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠GND=∠GDN，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，可得∠AGF的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，∠AFG的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得BF與MH的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠FRM=∠FMR，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，可得∠CBD=∠RMB，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得

BR

CD

=

BM

AC

=

AM

AB

=

3

4

，根據(jù)線段的和差，可得BR=BF-FR，根據(jù)等量代換，可得答案．

解答：（1）證明：如圖1，作∠BAP=∠DAE，AP交BD于P，
設(shè)∠CBD=α，∠CAD=β，
∵∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠APE=∠BAP+∠ABD，
∴∠APE=∠ADE，AP=AD．
∵AC⊥BD
∴∠PAE=∠DAE=β，
∴∠PAD=2β，∠BAD=3β．
∵∠BAD=3∠CBD，
∴3β=3α，β=α．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB=90°-∠CBE=90°-α=90°-β．
∵∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=90°-β，
∴∠ACB=∠ABC，
∴△ABC為等腰三角形；

（2）2MH=FM+

3

4

CD．
證明：如圖2，
由（1）知AP=AD，AB=AC，∠BAP=∠CAD=β，
∴△ABP≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD．
∵AC⊥BD，
∴∠GDN=90°-β，
∵GN=GD，
∴∠GND=∠GDN=90°-β，
∴∠NGD=180°-∠GND-∠GDN=2β．
∴∠AGF=∠NGD=2β．
∴∠AFG=∠BAD-∠AGF=3β-2β=β．
∵FN平分∠BFM，
∴∠NFM=∠AFG=β，
∴FM∥AE，
∴∠FMN=90°．
∵H為BF的中點(diǎn)，
∴BF=2MH．
在FB上截取FR=FM，連接RM，
∴∠FRM=∠FMR=90°-β．
∵∠ABC=90°-β，
∴∠FRM=∠ABC，
∴RM∥BC，
∴∠CBD=∠RMB．
∵∠CAD=∠CBD=β，
∴∠RMB=∠CAD．
∵∠RBM=∠ACD，
∴△RMB∽△DAC，
∴

BR

CD

=

BM

AC

=

BM

AB

=

3

4

，
∴BR=

3

4

CD．
∵BR=FB-FM，
∴FB-FM=BR=

3

4

CD，
FB=FM+

3

4

CD．
∴2MH=FM+

3

4

CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，（1）利用了等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)；（2）相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，利用的知識(shí)點(diǎn)多，題目稍有難度，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．