Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使∠ADE＝45°．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設(shè)BD＝x，AE＝y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并求出當(dāng)BD為何值時(shí)AE取得最小值？

（3）在AC上是否存在點(diǎn)E，使△ADE是等腰三角形？若存在，求AE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）y＝x2﹣x+1；；當(dāng)x＝時(shí)，y有最小值，最小值為；

（3）在AC上存在點(diǎn)E，使△ADE是等腰三角形，AE的長為2﹣或．

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得：∠B＝∠C＝∠ADE＝45°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得：∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，從而得出∠BAD＝∠CDE，最后根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似即可證出△ABD∽△DCE；

（2）由△ABD∽△DCE，可得：＝，然后分別用x和y表示出CD、EC，代入到比例式中即可求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），即可求出x的取值范圍，最后根據(jù)二次函數(shù)求最值即可；

（3）根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論：當(dāng)AD＝DE時(shí)，可得：△ABD≌△DCE，從而可得BD＝CE，根據(jù)此等式列方程即可求出AE；當(dāng)AE＝DE時(shí)，可得：△ADE為等腰直角三角形，即DE⊥AC，由相似的性質(zhì)得AD⊥BC，根據(jù)三線合一可得D是BC中點(diǎn)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=DC，從而得出：E也是AC的中點(diǎn),即可求出AE; 當(dāng)AD＝AE時(shí)，因?yàn)椤?/span>ADE=45°，可得∠DAE＝90°，此時(shí)D與B重合，不符合題意.

（1）證明：

∵∠BAC＝90°，AB＝AC

∴∠B＝∠C＝∠ADE＝45°

∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE

∴∠BAD＝∠CDE

∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE，

∴＝

∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，

∴BC＝，CD＝﹣x，EC＝1﹣y，

∴＝，即y＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，

∵點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）

∴0＜BD＜BC

即

當(dāng)x＝時(shí)，y有最小值，最小值為；

（3）當(dāng)AD＝DE時(shí)，△ABD≌△DCE，

∴BD＝CE，

∴x＝1﹣y，即x﹣x2＝x，

∵x≠0，

∴等式左右兩邊同時(shí)除以x得：x＝﹣1，將x＝﹣1代入y= x2﹣x+1中，

∴AE＝y＝2﹣，

當(dāng)AE＝DE時(shí)，

∵∠ADE=45°

∴△ADE為等腰直角三角形

∴DE⊥AC，

∴AD⊥BC

∴D是BC中點(diǎn)，

∴AD=DC

∴E也是AC的中點(diǎn)，

所以，AE＝；

當(dāng)AD＝AE時(shí)，

∵∠ADE=45°

∴∠DAE＝90°，D與B重合，不符合題意；

綜上，在AC上存在點(diǎn)E，使△ADE是等腰三角形，

AE的長為2﹣或．