【題目】如圖,已知拋物線與x軸交于點A(-1,0),與y軸交于點C(0,3),且對稱軸方程為.
(1)求拋物線與軸的另一個交點B的坐標;
(2)求拋物線的解析式;
(3)設拋物線的頂點為D,在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(4)若點M是拋物線上一點,以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形,試求出點M的坐標.
【答案】(1)(3,0);(2)y=-x2+2x+3;(3)存在;符合條件的點P坐標為或(2,3);(4)M(2,3)
【解析】
(1)根據(jù)拋物線與x軸的交點和對稱軸方程即可得出拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為;
(2)根據(jù)A、C、B的坐標運用待定系數(shù)法即可求出求拋物線的解析式;
(3)分以CD為底邊和以CD為一腰兩種情況分類討論,即可得出△PDC是等腰三角形符合條件的點P的坐標;
(4)根據(jù)勾股定理∠BCD=90°,再由拋物線對稱性可知點坐標M為(2,3).
(1)∵拋物線與x軸交于點A(-1,0),對稱軸方程為x=1,
∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為(3,0).
(2)∵拋物線與y軸交于點C(0,3)
設拋物線解析式為y=ax2+bx+3(a不等于0),根據(jù)題意,得
a-b+3=0,9a+3b+3=0
解得a=-1,b=2,
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3
(3)存在;
由y=-x2+2x+3得,D點坐標為(1,4),對稱軸為x=1
若以CD為底邊,則PD=PC,設P點坐標為(x,y),根據(jù)勾股定理得
x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2
即y=4-x
又點P(x,y)在拋物線上,
∴4-x=-x2+2x+3即x2-3x+1=0
解得
(舍去)
∴
∴y=4-x=
即點P坐標為;
若以CD為一腰,因為點P在對稱軸右側的拋物線上,
由拋物線對稱性知,點P與點C關于直線x=1對稱,此時點P坐標為(2,3)
∴符合條件的點P坐標為或(2,3);
(4)由B(3,0),C(0,3),D(1,4),
根據(jù)勾股定理,得CB=,CD=,BD=
∴CD2+CB2=BD2=20
∴∠BCD=90°
設對稱軸交x軸于點E,過C作CM⊥DE,交拋物線于點M,垂足為F,如圖所示:
在Rt△DCF中,
∵CF=DF=1,
∴∠CDF=45°
由拋物線對稱性可知,∠CDM=2×45°=90°,點坐標M為(2,3)
∴DM//BC
∴四邊形BCDM為直角梯形
由∠BCD=90°及題意可知以BC為一底時,頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況;以CD為一底或以BD為一底,且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在.
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【題目】如圖,點O是菱形ABCD對角線的交點,點E在BO上,EF垂直平分AB,垂足為F.
(1)求證:△BEF ∽△DCO;
(2)若AB=10,AC=12,求線段EF的長.
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【題目】如圖顯示了用計算機模擬隨機投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌嶒灥慕Y果.下面有三個推斷:①某次實驗投擲次數(shù)是500,計算機記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308,則該次試驗“釘尖向上”的頻率是0.616;②隨著實驗次數(shù)的增加,“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動,顯示出一定的穩(wěn)定性,可以估計“釘尖向上”的概率是0.618;③若再次用計算機模擬實驗,則當投擲次數(shù)為1000時,“釘尖向上”的概率一定是0.620.其中合理的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
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【題目】為了對學生進行革命傳統(tǒng)教育,紅旗中學開展了“清明節(jié)祭掃”活動.全校學生從學校同時出發(fā),步行米到達烈士紀念館.學校要求九班提前到達目的地,做好活動的準備工作.行走過程中,九(1)班步行的平均速度是其他班的倍,結果比其他班提前分鐘到達.分別求九(1)班、其他班步行的平均速度.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象與反比例函數(shù)y=(k≠0)在第一象限的圖象交于A(1,a)和B兩點,與x軸交于點C.
(1)求反比例函數(shù)的解析式及點A的坐標;
(2)若點P為x軸上一點,且滿足△ACP是等腰三角形,請直接寫出符合條件的所有點P的坐標.
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【題目】 某水果公司以3元/kg的成本價新進10000kg柑橘,如果公司希望這批柑橘能獲得利潤6000元,已知柑橘損壞率統(tǒng)計表如下,請你填寫最后一欄數(shù)據(jù),完成此表:
(1)損壞率的概率約是多少,并說明理由 (保留小數(shù)點后一位)
(2)在出售柑橘(去掉損壞的柑橘)時,確定大約定價多少合適?
柑橘總質量 | 損壞柑橘質量 | 柑橘損壞的頻率 |
300 | 30.9 | 0.103 |
350 | 35.7 | 0.102 |
400 | 39.2 | 0.098 |
450 | 44.5 | 0.099 |
500 | 50.5 | ? |
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【題目】世界上大部分國家都使用攝氏溫度(℃),但美、英等國的天氣預報仍然使用華氏溫度(℉),兩種計量之間有如下的對應表:
攝氏溫度(℃) | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
華氏溫度(℉) | 32 | 50 | 68 | 86 | 104 | 122 |
由上表可以推斷出,華氏0度對應的攝氏溫度是_____℃,若某一溫度時華氏溫度的值與對應的攝氏溫度的值相等,則此溫度為_____℃.
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