【題目】已知正方形ABCD的邊長為2,作正方形AEFG(A,E,F,G四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列),連接BE、GD,
(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD外時(shí),線段BE與線段DG有何關(guān)系?直接寫出結(jié)論;
(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)E在線段BD的延長線上,射線BA與線段DG交于點(diǎn)M,且DG=2DM時(shí),求邊AG的長;
(3)如圖③,當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD所在的直線上,直線AB與直線DG交于點(diǎn)M,且DG=4DM時(shí),直接寫出邊AG的長.
【答案】(1)結(jié)論:BE=DG,BE⊥DG.理由見解析;(2)AG=2;(3)滿足條件的AG的長為2或2.
【解析】
(1)結(jié)論:BE=DG,BE⊥DG.只要證明△BAE≌△DAG(SAS),即可解決問題;
(2)如圖②中,連接EG,作GH⊥AD交DA的延長線于H.由A,D,E,G四點(diǎn)共圓,推出∠ADO=∠AEG=45°,解直角三角形即可解決問題;
(3)分兩種情形分別畫出圖形即可解決問題;
(1)結(jié)論:BE=DG,BE⊥DG.
理由:如圖①中,設(shè)BE交DG于點(diǎn)K,AE交DG于點(diǎn)O.
∵四邊形ABCD,四邊形AEFG都是正方形,
∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,
∴∠BAE=∠DAG,
∴△BAE≌△DAG(SAS),
∴BE=DG,∴∠AEB=∠AGD,
∵∠AOG=∠EOK,
∴∠OAG=∠OKE=90°,
∴BE⊥DG.
(2)如圖②中,連接EG,作GH⊥AD交DA的延長線于H.
∵∠OAG=∠ODE=90°,
∴A,D,E,G四點(diǎn)共圓,
∴∠ADO=∠AEG=45°,
∵∠DAM=90°,
∴∠ADM=∠AMD=45°,
∴
∵DG=2DM,
∴
∵∠H=90°,
∴∠HDG=∠HGD=45°,
∴GH=DH=4,
∴AH=2,
在Rt△AHG中,
(3)①如圖③中,當(dāng)點(diǎn)E在CD的延長線上時(shí).作GH⊥DA交DA的延長線于H.
易證△AHG≌△EDA,可得GH=AB=2,
∵DG=4DM.AM∥GH,
∴
∴DH=8,
∴AH=DH﹣AD=6,
在Rt△AHG中,
②如圖3﹣1中,當(dāng)點(diǎn)E在DC的延長線上時(shí),易證:△AKE≌△GHA,可得AH=EK=BC=2.
∵AD∥GH,
∴
∵AD=2,
∴HG=10,
在Rt△AGH中,
綜上所述,滿足條件的AG的長為或.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程(m+1)x2+2mx+m﹣3=0總有實(shí)數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)m在取值范圍內(nèi)取最小整數(shù)時(shí),求原方程的解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題9分)據(jù)報(bào)道,“國際剪刀石頭布協(xié)會(huì)”提議將“剪刀石頭布”作為奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目.某校學(xué)生會(huì)想知道學(xué)生對(duì)這個(gè)提議的了解程度,隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了一次問卷調(diào)查,并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有___名,扇形統(tǒng)計(jì)圖中“基本了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為___;請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)若該校共有學(xué)生900人,請(qǐng)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該校學(xué)生中對(duì)將“剪刀石頭布”作為奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目的提議達(dá)到“了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù);
(3)“剪刀石頭布”比賽時(shí)雙方每次任意出“剪刀”、“石頭”、“布”這三種手勢(shì)中的一種,規(guī)則為:剪刀勝布,布勝石頭,石頭勝剪刀,若雙方出現(xiàn)相同手勢(shì),則算打平.若小剛和小明兩人只比賽一局,請(qǐng)用樹狀圖或列表法求兩人打平的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O與∠α的兩邊相切,若∠α=60°,則圖中陰影部分的面積S關(guān)于⊙O的半徑r的函數(shù)圖象大致是( )
A. B.
C. D.
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AC是⊙O直徑,D是的中點(diǎn),過點(diǎn)D作CB的垂線,分別交CB、CA延長線于點(diǎn)F、E.
(1)判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若sinE=,求AB:EF的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.
(1)請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳辖⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系,使點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(2,3)、(6,2),并寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)以原點(diǎn)O為位似中心,在第一象限內(nèi)將△ABC放大,相似比為2,畫出放大后的△A'B'C';
(3)直接寫出B′C′與AC的交點(diǎn)坐標(biāo).
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【題目】如圖,現(xiàn)有一塊鋼板余料,它是矩形缺了一角, .王師傅準(zhǔn)備從這塊余料中裁出一個(gè)矩形(為線段上一動(dòng)點(diǎn)).設(shè),矩形的面積為.
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并注明的取值范圍;
(2)為何值時(shí),取最大值?最大值是多少?
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【題目】某學(xué)校環(huán)保志愿者協(xié)會(huì)對(duì)該市城區(qū)的空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)查,從全年365天中隨機(jī)抽取了80天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)數(shù)據(jù),繪制出三幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表,請(qǐng)根據(jù)圖表中提供的信息解答下列問題:
AQI指數(shù) | 質(zhì)量等級(jí) | 天數(shù)(天) |
0-50 | 優(yōu) | m |
51-100 | 良 | 44 |
101-150 | 輕度污染 | n |
151-200 | 中度污染 | 4 |
201-300 | 重度污染 | 2 |
300以上 | 嚴(yán)重污染 | 2 |
(1)統(tǒng)計(jì)表中m= ,n= ,扇形統(tǒng)計(jì)圖中,空氣質(zhì)量等級(jí)為“良”的天數(shù)占 %;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并通過計(jì)算估計(jì)該市城區(qū)全年空氣質(zhì)量等級(jí)為“優(yōu)”和“良”的天數(shù)共多少?
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【題目】如圖,已知∠AOB=60°,點(diǎn)P為射線OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥OB,交OB 于點(diǎn)E,點(diǎn)D在∠AOB內(nèi),且滿足∠DPA=∠OPE,DP+PE=6.
(1)當(dāng)DP=PE時(shí),求DE的長;
(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)定點(diǎn)M,使得的值不變?并證明你的判斷.
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