Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說明理由．
（3）若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定,矩形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠3=∠4，進(jìn)而得出答案；
（2）根據(jù)AO=CO，EO=FO可得四邊形AECF平行四邊形，再證明∠ECF=90°利用矩形的判定得出即可；
（3）利用正方形的性質(zhì)得出AC⊥EN，再利用平行線的性質(zhì)得出∠BCA=90°，即可得出答案．

解答：證明：（1）∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，
∴OE=OF；

（2）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．
證明：當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．

（3）△ABC是直角三角形，
理由：∵四邊形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形和正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．