【題目】如圖,點E是邊長為1的正方形ABCD的邊AB上任意一點(不含A,B),過B,C,E三點的圓與BD相交于點F,與CD相交于點G,與∠ABC的外角平分線相交于點H.
(1)求證:四邊形EFCH是正方形;
(2)設(shè)BE=x,△CFG的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求y的最大值.
【答案】
(1)證明:∵B、H、C、F、E在同一圓上,且∠EBC=90°
∴∠EFC=90°,∠EHC=90°,
又∵∠FBC=∠HBC=45°,
∴CF=CH,
∵∠HBF+∠HCF=180°,
∴∠HCF=90°,
∴四邊形EFCH是正方形
(2)解:∵∠BFG+∠BCG=180°,
∴∠BFG=90°,
由(1)知∠EFC=90°,
∴∠CFG+∠BFC=∠BFE+∠BFC,
∴∠CFG=∠BFE,
∴CG=BE=x,
∴DG=DC﹣CG=1﹣x,
易知△DFG是等腰直角三角形,
∴△CFG中CG邊上的高為 DG= (1﹣x),
∴y= x (1﹣x)=﹣ (x﹣ )2+ ,
∴當(dāng)x= 時,y有最大值
【解析】(1)利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì),圓周角定理,須證三個角是直角,再證一組鄰邊相等可得出結(jié)論;(2)利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得CG=BE=x,△DFG是等腰直角三角形,利用“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”可得△CFG中CG邊上的高為 DG,列出二次函數(shù)關(guān)系式,配成頂點式求出最大值.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點A(1,a),將線段OA平移至線段BC,B(b,0),a是m+6n的算術(shù)平方根,=3,n=,且m<n,正數(shù)b滿足(b+1)2=16.
(1)直接寫出A、B兩點坐標(biāo)為:A ,B ;
(2)如圖1,連接AB、OC,求四邊形AOCB的面積;
(3)如圖2,若∠AOB=a,點P為y軸正半軸上一動點,試探究∠CPO與∠BCP之間的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABF中,∠F=90°,點C是線段BF上異于點B和點F的一點,連接AC,過點C作CD⊥AC交AB于點D,過點C作CE⊥AB交AB于點E,則下列說法中,錯誤的是( )
A.△ABC中,AB邊上的高是CEB.△ABC中,BC邊上的高是AF
C.△ACD中,AC邊上的高是CED.△ACD中,CD邊上的高是AC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A(2,0),點B(1,3).
(1)畫出將△OAB繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°后所得的△OA1B1,并寫出點A1,B1的坐標(biāo);
(2)畫出△OAB關(guān)于原點O的中心對稱圖形△OA2B2,并寫出點A2,B2的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(類比學(xué)習(xí))
小明同學(xué)類比除法2401615的豎式計算,想到對二次三項式x23x2進行因式分解的方法:
即x23x2x1x2,所以x23x2x1x2.
(初步應(yīng)用)
小明看到了這樣一道被墨水污染的因式分解題:x2□x6x2x☆,(其中□、☆代表兩個被污染的系數(shù)),他列出了下列豎式:
得出□=___________,☆=_________.
(深入研究)
小明用這種方法對多項式x22x2-x-2進行因式分解,進行到了:x32x2-x-2x2*.(*代表一個多項式),請你利用前面的方法,列出豎式,將多項式x32x2-x-2因式分解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:點E為AB邊上的一個動點.
(1)如圖1,若△ABC是等邊三角形,以CE為邊在BC的同側(cè)作等邊△DEC,連結(jié)AD.試比較∠DAC與∠B的大小,并說明理由;
(2)如圖2,若△ABC中,AB=AC,以CE為底邊在BC的同側(cè)作等腰△DEC,且△DEC∽△ABC,連結(jié)AD.試判斷AD與BC的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)如圖3,若四邊形ABCD是邊長為2的正方形,以CE為邊在BC的同側(cè)作正方形ECGF.
①試說明點G一定在AD的延長線上;
②當(dāng)點E在AB邊上由點B運動至點A時,點F隨之運動,求點F的運動路徑長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知ABCD,AB∥x軸,AB=6,點A的坐標(biāo)為(1,﹣4),點D的坐標(biāo)為(﹣3,4),點B在第四象限,點P是ABCD邊上的一個動點.
(1)若點P在邊BC上,PD=CD,求點P的坐標(biāo).
(2)若點P在邊AB,AD上,點P關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點Q落在直線y=x﹣1上,求點P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A、B兩個碼頭分別在一條河的兩岸AC、BD上,河岸AC、BD均為東西走向,一艘客輪以每小時30千米的速度由A碼頭出發(fā)沿北偏東50°的方向航行至B碼頭,用時1.2小時,求該河的寬度(結(jié)果精確到1千米)
【參考數(shù)據(jù):sin50°=0.77,cos50°=0.64,tan50°=1.20】
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