【題目】如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,E、F是AD邊上的兩個動點,且AE=FD,連接BE、CF、BD,CF與BD交于點H,連接DH,下列結(jié)論正確的是( )
①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG:S△HBG=tan∠DAG ⑤線段DH的最小值是2﹣2
A. ①②⑤ B. ①③④⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④
【答案】B
【解析】
首先證明△ABE≌△DCF,△ADG≌△CDG(SAS),△AGB≌△CGB,利用全等三角形的性質(zhì),等高模型、三邊關系一一判斷即可.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=CD,∠BAD=∠ADC=90°,∠ADB=∠CDB=45°.
∵在△ABE和△DCF中,AB=CD,∠BAD=∠ADC,AE=DF,
∴△ABE≌△DCF,
∴∠ABE=∠DCF.
∵在△ADG和△CDG中,AD=CD,∠ADB=∠CDB,DG=DG,
∴△ADG≌△CDG,
∴∠DAG=∠DCF,
∴∠ABE=∠DAG.
∵∠DAG+∠BAH=90°,
∴∠BAE+∠BAH=90°,
∴∠AHB=90°,
∴AG⊥BE,故③正確,
同理可證:△AGB≌△CGB.
∵DF∥CB,
∴△CBG∽△FDG,
∴△ABG∽△FDG,故①正確.
∵S△HDG:S△HBG=DG:BG=DF:BC=DF:CD=tan∠FCD,∠DAG=∠FCD,
∴S△HDG:S△HBG=tan∠FCD=tan∠DAG,故④正確.
取AB的中點O,連接OD、OH.
∵正方形的邊長為4,
∴AO=OH=×4=2,
由勾股定理得,OD=,
由三角形的三邊關系得,O、D、H三點共線時,DH最小,
DH最小=2-2.
無法證明DH平分∠EHG,故②錯誤,
故①③④⑤正確.
故選B.
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【題目】如圖,直線y=kx+6與x軸、y軸分別相交于點E,F(xiàn),點E的坐標為(8,0),點A的坐標為(6,0),點P(x,y)是第一象限內(nèi)直線上的一個動點(點P不與點E,F(xiàn)重合).
(1)求k的值;
(2)在點P運動的過程中,求出△OPA的面積S與x的函數(shù)關系式;
(3)若△OPA的面積為,求此時點P的坐標.
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【題目】如圖所示,在矩形紙片ABCD中,AB=3,BC=5.折疊紙片使點A落在邊BC上的A′處,折痕為PQ.當點A′在邊BC上移動時,折痕的端點P、Q也隨之移動.若限定點P、Q分別在邊AB、AD上移動,則點A′在邊BC上可移動的最大距離為( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】閱讀理解題:在路上,我們經(jīng)常看到這樣的汽車牌照號:“遼A30803”,“遼P12321”,“京C76H67”,…,給人以對稱美的感受.除了表示地區(qū)標志的漢字和字母(如:沈陽車牌遼A,葫蘆島車牌遼P等)以外,像“30803”、“76H67”這樣的由數(shù)或由數(shù)和字母共同組成的車牌號,我們稱之為“軸對稱車牌號”.在正整數(shù)中,現(xiàn)定義為,“形如的正整數(shù)叫做軸對稱數(shù).”比如:99,363,2112等都是軸對稱數(shù).
(1)寫出最小的五位“軸對稱數(shù)”;
(2)請你設計一個我們葫蘆島市的車牌號,要求:此車牌號的后五位是“軸對稱車牌號”,且由數(shù)字和字母組成的;
(3)已知某車的車牌號是由數(shù)字組成的“軸對稱車牌號”,設首位數(shù)字為m,去掉首尾數(shù)字后的中間的三位數(shù)為n.已知多項式x2﹣2m能用公式法分解因式,n是多項式a﹣1與多項式a+102相乘得到的多項式的一次項系數(shù),求出符合條件的車牌號.
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【題目】已知點O在△ABC內(nèi),且知OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB,過O作直線EF分別交AB、AC于E、F.
(1)如圖1,已知EF∥BC.
①若∠A=76°,請直接寫出∠BOE+∠COF的度數(shù);
②猜想∠BOE、∠COF與∠A之間有怎樣的數(shù)量關系?寫出結(jié)論,不用證明
(2)直線EF繞點O旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(EF與BC不平行),那么上面(1)②中猜想的結(jié)論還成立嗎?如果成立,請給出證明;如果不成立,請說明理由.
(3)當直線EF繞點O旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(點E在AB的延長線上),請直接寫出∠BOE、∠COF與∠A之間的數(shù)量關系.
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【題目】高速鐵路列車(簡稱:高鐵)是人們出行的重要交通工具:已知高鐵平均速度是普通鐵路列車(簡稱:普客)平均速度的的3倍.同樣行駛690km,高鐵比普客少用4.6h.
(1)求高鐵的平均速度.
(2)某天王老師乘坐8:40出發(fā)的高鐵,到里程1050km的A市參加當天14:00召開的會議.若他從A市高鐵站到會議地點最多還需要1.5h,試問在高鐵準點到達的情況下,他能在開會之前趕到會議地點嗎?
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【題目】下面是某同學對多項式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4進行因式分解的過程
解:設x2﹣4x=y,
原式=(y+2)(y+6)+4。ǖ谝徊剑
=y2+8y+16。ǖ诙剑
=(y+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
(1)該同學第二步到第三步運用了因式分解的 (填序號).
A.提取公因式 B.平方差公式
C.兩數(shù)和的完全平方公式 D.兩數(shù)差的完全平方公式
(2)該同學在第四步將y用所設中的x的代數(shù)式代換,得到因式分解的最后結(jié)果.這個結(jié)果是否分解到最后? .(填“是”或“否”)如果否,直接寫出最后的結(jié)果 .
(3)請你模仿以上方法嘗試對多項式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1進行因式分解.
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【題目】如圖,⊙O的直徑AB⊥弦CD,垂足為點E,點P在優(yōu)弧CAD上(不包含點C和點D),連PC、PD、CB,tan∠BCD=.
(1)求證:AE=CD;
(2)求sin∠CPD.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象與一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象交于A、B兩點,過點A作AH⊥y軸,垂足為H,若OH=4,sin∠AOH=,點B的坐標(6,n).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.
(2)求△AOB的面積.
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