Question

如圖，△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從B出發(fā)，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)以1厘米/秒的速度從D出發(fā)，沿DB勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）若a=2，那么t為何值時(shí)△BPQ與△BDA相似？
（2）已知M為AC上一點(diǎn)，若當(dāng)t=

3

2

時(shí)，四邊形PQCM是平行四邊形，求這時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度．
（3）在P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)工程中，要使線段PQ在某一時(shí)刻平分△ABD的面積，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度應(yīng)限制在什么范圍內(nèi)？【提示：對(duì)于一元二次方程，有如下的結(jié)論：若x₁•x₂是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂₌

c

a

】

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,解一元一次方程,根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，可以得到BP=2t，BD=6，BQ=6-t，BA=10；而△BPQ與△BDA相似，對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，故需分△BPQ∽△BDA和△BQP∽△BDA兩種情況討論；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立方程，即可求出對(duì)應(yīng)t的值．
（2）當(dāng)t=

3

2

時(shí)，可以得到BP=

3

2

a，DQ=

3

2

，BQ=

9

2

，BA=10．由四邊形PQCM是平行四邊形可得PQ∥AC，從而有△BPQ∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立方程，即可求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度．
（3）由線段PQ平分△ABD的面積得S_△BPQ=

1

2

S_△ABD，從而有

2

5

at(6-t)=

1

2

×6×8，整理得：at²-6at+60=0．由題可知該方程有正的小于6的實(shí)數(shù)根．由根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式就可確定a的范圍．

解答：解（1）當(dāng)a=2時(shí)，BP=2t，DQ=1×t=t．
∵D是BC中點(diǎn)，BC=12，
∴BD=DC=6．
∴BQ=6-t．
①當(dāng)△BPQ∽△BDA時(shí)，如圖1，
則有

BP

BD

=

BQ

BA

．
∵BP=2t，BD=6，BQ=6-t，BA=10，
∴

2t

6

=

6-t

10

．
解得：t=

18

13

．
②當(dāng)△BQP∽△BDA時(shí)，如圖2，
則有

BQ

BD

=

BP

BA

．
∵BP=2t，BD=6，BQ=6-t，BA=10，
∴

6-t

6

=

2t

10

．
解得：t=

30

11

．
∴當(dāng)a=2時(shí)，t=

18

13

秒或

30

11

秒時(shí)，△BPQ與△BDA相似．
（2）當(dāng)t=

3

2

且四邊形PQCM是平行四邊形時(shí)，如圖3，
則有PQ∥AC，BP=

3

2

a，DQ=1×

3

2

=

3

2

，BQ=6-

3

2

=

9

2

．
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC．
∴

BP

BA

=

BQ

BC

．
∵BP=

3

2

a，BA=10，BQ=

9

2

，BC=12，
∴

3 2 a

10

=

9 2

12

．
解得：a=2.5．
∴點(diǎn)P的速度是2.5厘米/秒．
（3）作PE⊥BC，垂足為E，如圖4，
∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC．
∵AB=10，BD=6，
∴AD=8．
∵PE⊥BC，AD⊥BC，
∴△BEP∽△BDA．
∴

EP

AD

=

BP

BA

．
∵AD=8，BP=at，BA=10，
∴

EP

8

=

at

10

．
∴EP=

4

5

at．
∴S_△BPQ=

1

2

BQ•EP=

1

2

（6-t）•

4

5

at=

2

5

at(6-t)．
∵線段PQ平分△ABD的面積，
∴S_△BPQ=

1

2

S_△ABD．
∴

2

5

at(6-t)=

1

2

×

1

2

×6×8．
整理得：at²-6at+30=0．（a＞0）
由題可得：△=（-6a）²-4a×30≥0．
解得：a≥

10

3

．
此時(shí)t₁•t₂=

30

a

＞0，t₁+t₂=6＞0．
∴方程at²-6at+60=0有兩個(gè)小于6的正實(shí)根．
∴點(diǎn)P的速度應(yīng)大于或等于

10

3

厘米/秒．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、解一元一次方程等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，本題還考查了分類討論的思想，有一定的難度．