Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F是位于x軸上方對稱軸上一點(diǎn)，F(xiàn)C∥x軸，與對稱軸右側(cè)的拋物線交于點(diǎn)C，且四邊形OECF是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△OCP是等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式可求出其對稱軸，從而求出OE長，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求出FC長，從而得到點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，代入拋物線的解析式就可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）可分三種情況（①點(diǎn)O是頂角頂點(diǎn)，②點(diǎn)C是頂角頂點(diǎn)，③點(diǎn)P是頂角頂點(diǎn)）討論，然后只需運(yùn)用勾股定理就可解決問題．

解答：解：（1）把點(diǎn)A（1，0）和B（3，0）代入y=ax²+bx+3得，

a+b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得：

a=1 b=-4

，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3；                 

（2）∵拋物線的對稱軸為直線x=-

-4

2×1

=2，∴OE=2．
∵四邊形OECF是平行四邊形，
∴FC=OE=2，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是4，
∵點(diǎn)C在拋物線上，
∴y=4²-4×4+3=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3）；                       

（3）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），
∴OC的長為5．
①點(diǎn)O是頂角頂點(diǎn)時，OP=OC=5．
∵∠OEP=90°，
∴OP²=OE²+EP²．
∵OE=2，OP=5，
∴EP=

52-22

=

21

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，

21

）或（2，-

21

）；       
②點(diǎn)C是頂角頂點(diǎn)時，CP=OC=5，
同理可得：PF=

21

，
∴PE=

21

±3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，

21

+3）或（2，3-

21

）；   
③點(diǎn)P是頂角頂點(diǎn)時，點(diǎn)P在OC上，
不存在．   
綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P（2，

21

）或（2，-

21

）或（2，

21

+3）或（2，3-

21

），使△OCP是等腰三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（3）小題的關(guān)鍵；需要注意的是將線段的長度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)時，要根據(jù)點(diǎn)所在的象限確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的符號．