Question

【題目】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直線l過(guò)點(diǎn)C．

（1）當(dāng)AC＝BC時(shí)，如圖1，分別過(guò)點(diǎn)A和B作AD⊥直線l于點(diǎn)D，BE⊥直線l于點(diǎn) E．△ACD與△CBE是否全等，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)AC＝9cm，BC＝6cm時(shí)，如圖2，點(diǎn)B與點(diǎn)F關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，連接BF、CF，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N是CF上一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)M、N作MD⊥直線l于點(diǎn)D，NE⊥直線l于點(diǎn)E，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→C路徑運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為C，點(diǎn)N從點(diǎn)F出發(fā)，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路徑運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為F，點(diǎn)M、N同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，各自達(dá)到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

①當(dāng)△CMN為等腰直角三角形時(shí)，求t的值；

②當(dāng)△MDC與△CEN全等時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）△ACD與△CBE全等，理由見(jiàn)解析；（2）①當(dāng)t＝秒或秒時(shí)，△CMN為等腰直角三角形；②當(dāng)t＝秒或秒或秒時(shí)，△MDC與△CEN全等．

【解析】

（1）根據(jù)垂直的定義得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理證明△ACD≌△CBE;

（2）①分點(diǎn)N沿C→B路徑運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)N沿B→C路徑運(yùn)動(dòng)兩種情況，根據(jù)等腰三角形的定義列出算式，計(jì)算即可；②分點(diǎn)N沿F→C路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿C→B路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿B→C路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿C→F路徑運(yùn)動(dòng)四種情況，根據(jù)全等三角形的判定定理列式計(jì)算．

（1）△ACD與△CBE全等．理由如下：

∵AD⊥直線l，

∴∠DAC+∠ACD＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCE+∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠ECB，

在△ACD和△CBE中， ，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）①由題意得，AM＝t，FN＝3t，

則CM＝8﹣t，

由折疊的性質(zhì)可知，CF＝CB＝6，

∴CN＝6﹣3t，

點(diǎn)N在BC上時(shí)，△CMN為等腰直角三角形，

當(dāng)點(diǎn)N沿C→B路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，9﹣t＝3t﹣6，

解得，t＝，

當(dāng)點(diǎn)N沿B→C路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，9﹣t＝18﹣3t，

解得，t＝，

綜上所述，當(dāng)t＝秒或秒時(shí)，△CMN為等腰直角三角形；

②由折疊的性質(zhì)可知，∠BCE＝∠FCE，

∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，

∴∠NCE＝∠CMD，

∴當(dāng)CM＝CN時(shí)，△MDC與△CEN全等，

當(dāng)點(diǎn)N沿F→C路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，9﹣t＝6﹣3t，

解得，t＝ （不合題意），

當(dāng)點(diǎn)N沿C→B路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，9﹣t═3t﹣6，

解得，t＝，

當(dāng)點(diǎn)N沿B→C路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，9﹣t＝18﹣3t，

解得，t＝，

當(dāng)點(diǎn)N沿C→F路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，9﹣t＝3t﹣18，

解得，t＝ ，

綜上所述，當(dāng)t＝秒或秒或秒時(shí)，△MDC與△CEN全等．