Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在拋物線上，點(diǎn)F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF=2，EF=3．
（1）寫(xiě)出拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：

 

；△AOD的面積是

 

．
（2）連結(jié)CB交EF于M，再連結(jié)AM交OC于R，求△ACR的周長(zhǎng)．
（3）設(shè)G（4，-5）在該拋物線上，P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH垂直于直線EF并交于H，連接AP，GH，問(wèn)AP+PH+HG是否有最小值？如果有，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)綜合題,待定系數(shù)法

分析：（1）利用矩形的性質(zhì)得出E，C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及求出D點(diǎn)坐標(biāo)即可得出△AOD的面積；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)得出OR的值，進(jìn)而得出CR的值，再利用勾股定理得出AC，AR的值，進(jìn)而得出答案；
（3）首先取OF中點(diǎn)A′，連結(jié)A′G交直線EF于點(diǎn)H，過(guò)H作HP′⊥y軸于P′，連結(jié)AP′，則當(dāng)P在P′處時(shí)，使AP+PH+HG最小，進(jìn)而求出直線A′G的解析式即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖1，∵四邊形OCEF為矩形，且OF=2，EF=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，3），E點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，3），
將C，E代入y=-x²+bx+c得：

c=3 -4+2b+c=3

，
解得：

b=2 c=3

，
∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3
=-（x-1）²+4，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為；（1，4），
當(dāng)y=0，則0=-（x-1）²+4，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴AO=1，BO=3，
∴△AOD的面積是：

1

2

×AO×4=2，
故答案為：y=-x²+2x+3，2；

（2）如圖1，∵AO=1，CO=3，
∴AC=

10

，
∵CO=BO=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴FM=BF=1，
∵RO∥MF，
∴△ARO∽△AMF，
∴

RO

MF

=

AO

AF

，
∴

RO

1

=

1

3

，
解得：RO=

1

3

，
∴CR=3-

1

3

=

8

3

，
AR=

12+( 1 3 )2

=

10

3

，
∴△ACR的周長(zhǎng)為：

10

+

8

3

+

10

3

=

8+4 10

3

；

（3）如圖2，取OF中點(diǎn)A′，連結(jié)A′G交直線EF于點(diǎn)H，
過(guò)H作HP′⊥y軸于P′，連結(jié)AP′，
則當(dāng)P在P′處時(shí)，使AP+PH+HG最小，
設(shè)直線A′G的解析式為y=kx+b
將A′（1，0），G（4，-5）代入得

-5=4k+b 0=k+b

，
解得：

k=- 5 3 b= 5 3

，
∴直線A′G的解析式為：y=-

5

3

x+

5

3

，
令x=2，得y=-

10

3

+

5

3

=-

5

3

，
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為：(2，-

5

3

)，
∴適合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(0，-

5

3

)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)解析式和相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，利用兩點(diǎn)之間線段最短得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．