Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=﹣ x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），連接AC，BC．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接PQ．

（1）填空：b= ， c=；
（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，△APQ可能是直角三角形嗎？請說明理由；
（3）在x軸下方，該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)M，使△PQM是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不存在，請說明理由；
（4）如圖②，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣ ，0），線段PQ的中點(diǎn)為H，連接NH，當(dāng)點(diǎn)Q關(guān)于直線NH的對稱點(diǎn)Q′恰好落在線段BC上時(shí)，請直接寫出點(diǎn)Q′的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）,4
（2）解：在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，△APQ不可能是直角三角形．

理由如下：連結(jié)QC．

∵在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，∠PAQ、∠PQA始終為銳角，

∴當(dāng)△APQ是直角三角形時(shí)，則∠APQ=90°．

將x=0代入拋物線的解析式得：y=4，

∴C（0，4）．

∵AP=OQ=t，

∴PC=5﹣t，

∵在Rt△AOC中，依據(jù)勾股定理得：AC=5，在Rt△COQ中，依據(jù)勾股定理可知：CQ2=t2+16，在Rt△CPQ中依據(jù)勾股定理可知：PQ2=CQ2﹣CP2，在Rt△APQ中，AQ2﹣AP2=PQ2，

∴CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2=t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t=4.5．

∵由題意可知：0≤t≤4，

∴t=4.5不符合題意，即△APQ不可能是直角三角形．

（3）解：如圖所示：

過點(diǎn)P作DE∥x軸，分別過點(diǎn)M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分別為D、E，MD交x軸與點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G，則PG∥y軸，∠E=∠D=90°．

∵PG∥y軸，

∴△PAG∽△ACO，

∴ = = ，即 = = ，

∴PG= t，AG= t，

∴PE=GQ=GO+OQ=AO﹣AG+OQ=3﹣ t+t=3+ t，DF=GP= t．

∵∠MPQ=90°，∠D=90°，

∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°，

∴∠DMP=∠EPQ．

又∵∠D=∠E，PM=PQ，

∴△MDP≌PEQ，

∴PD=EQ= t，MD=PE=3+ t，

∴FM=MD﹣DF=3+ t﹣ t=3﹣ t，OF=FG+GO=PD+OA﹣AG=3+ t﹣ t=3+ t，

∴M（﹣3﹣ t，﹣3+ t）．

∵點(diǎn)M在x軸下方的拋物線上，

∴﹣3+ t=﹣ ×（﹣3﹣ t）2+ ×（﹣3﹣ t）+4，解得：t= ．

∵0≤t≤4，

∴t= ．

（4）解：如圖所示：連結(jié)OP，取OP的中點(diǎn)R，連結(jié)RH，NR，延長NR交線段BC與點(diǎn)Q′．

∵點(diǎn)H為PQ的中點(diǎn)，點(diǎn)R為OP的中點(diǎn)，

∴EH= QO= t，RH∥OQ．

∵A（﹣3，0），N（﹣ ，0），

∴點(diǎn)N為OA的中點(diǎn)．

又∵R為OP的中點(diǎn)，

∴NR= AP= t，

∴RH=NR，

∴∠RNH=∠RHN．

∵RH∥OQ，

∴∠RHN=∠HNO，

∴∠RNH=∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分線．

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，把點(diǎn)A（﹣3，0）、C（0，4）代入得： ，

解得：m= ，n=4，

∴直線AC的表示為y= x+4．

同理可得直線BC的表達(dá)式為y=﹣x+4．

設(shè)直線NR的函數(shù)表達(dá)式為y= x+s，將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入得： ×（﹣ ）+s=0，解得：s=2，

∴直線NR的表述表達(dá)式為y= x+2．

將直線NR和直線BC的表達(dá)式聯(lián)立得： ，解得：x= ，y= ，

∴Q′（ ， ）．

【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣4）．將a=﹣ 代入得：y=﹣ x2+ x+4，∴b= ，c=4；（2）直角三角形存在性問題可采取假設(shè)的方法，然后根據(jù)三個(gè)內(nèi)角哪一個(gè)可能為直角進(jìn)行分類討論；（3）由等腰直角三角形的性質(zhì)可推得全等，用t 的代數(shù)式表示出M的坐標(biāo)，根據(jù)在拋物線上代入解析式，建立方程求處t ,再驗(yàn)證它是否在取值范圍內(nèi)；（4） Q′可采用交軌法，即是直線NR和直線BC的交點(diǎn)，聯(lián)立兩個(gè)解析式組成方程組，解出方程組的解就是交點(diǎn)坐標(biāo).