【題目】如圖,等腰三角形ABC中,AC=BC=6,AB=8,以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)G,DF⊥AC,垂足為F,交CB的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證:直線EF是⊙O的切線;
(2)求sin∠E的值.
【答案】(1)證明見解析;(2) .
【解析】
(1)先連結(jié)OD,由OD=OB,得出∠CBA=∠ODB,由于AC=BC,得出∠CBA=∠A.所以∠ODB=∠A,得出DO∥AC,可證EF是⊙O的切線;
(2)連接BG,可得BG∥EF,那么∠E=∠GBC,設(shè)CG=x,在Rt△BGA中和Rt△BGC中,利用勾股定理都表示出BG2,求得CG的值,CG:BC即為sinE的值.
證明:(1)如圖,連結(jié)OD,則OD=OB
∴∠CBA=∠ODB
∵AC=BC
∴∠CBA=∠A
∴∠ODB=∠A
∵OD∥AC,∴∠ODE=∠CFE
∵DF⊥AC于F,∴∠CFE=90
∴∠ODE=90
∴OD⊥EF
∴EF是⊙O的切線
(2)連結(jié)BG,∵BC是直徑
∴∠BGC=90.=∠CFE
∴BG∥EF
∴∠GBC=∠E
設(shè)CG=x,則AG=AC-CG=6-x
在Rt△BGA中,
在Rt△BGC中,
∴
解得 即
在Rt△BGC中,
∴sin∠E
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形,我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線.如圖1,把一張頂角為36的等腰三角形紙片剪兩刀,分成3張小紙片,使每張小紙片都是等腰三角形,我們把這兩條線段叫做等腰三角形的三分線.
(1)如圖2,請(qǐng)用兩種不同的方法畫出頂角為45的等腰三角形的三分線,并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù):(若兩種方法分得的三角形成3對(duì)全等三角形,則視為同一種) .
(2)如圖3,△ABC 中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,請(qǐng)畫出△ABC 的三分線,并求出三分線的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】反比例函數(shù)y=的圖象如圖所示,A,P為該圖象上的點(diǎn),且關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.在△PAB中,PB∥y軸,AB∥x軸,PB與AB相交于點(diǎn)B.若△PAB的面積大于12,則關(guān)于x的方程(a-1)x2-x+=0的根的情況是________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)開展“唱紅歌”比賽活動(dòng),九年級(jí)(1)、(2)班根據(jù)初賽成績,各選出5名選手參加復(fù)賽,兩個(gè)班各選出5名選手參加復(fù)賽,兩個(gè)班各選出的5名選手的復(fù)賽成績(滿分為100分)如圖所示.
(1)根據(jù)圖示填寫下表:
班級(jí) | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) |
九(1) | 85 | |
九(2) | 100 |
(2)通過計(jì)算得知九(2)班的平均成績?yōu)?/span>85分,請(qǐng)計(jì)算九(1)班的平均成績.
(3)結(jié)合兩班復(fù)賽成績的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個(gè)班級(jí)的復(fù)賽成績較好.
(4)已知九(1)班復(fù)賽成績的方差是70,請(qǐng)計(jì)算九(2)班的復(fù)賽成績的方差,并說明哪個(gè)班的成績比較穩(wěn)定?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形AOBC中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA、OB分別在x軸、y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3),∠ABO=30°,將△ABC沿AB所在直線對(duì)折后,點(diǎn)C落在點(diǎn)D處,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為( )
A. (,)B. (2,)C. (,)D. (,3﹣)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如果一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的比值與另一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的比值相等,我們稱這兩個(gè)方程為“相似方程”,例如,的實(shí)數(shù)根是3或6,的實(shí)數(shù)根是1或2,,則一元二次方程與為相似方程.下列各組方程不是相似方程的是( )
A.與B.與
C.與D.與
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與實(shí)踐
問題情境
數(shù)學(xué)課上,李老師提出了這樣一個(gè)問題:如圖1,點(diǎn)是正方形內(nèi)一點(diǎn),,,.你能求出的度數(shù)嗎?
(1)小敏與同桌小聰通過觀察、思考、討論后,得出了如下思路:
思路一:將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,連接,求出的度數(shù).
思路二:將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,連接,求出的度數(shù).
請(qǐng)參考以上思路,任選一種寫出完整的解答過程.
類比探究
(2)如圖2,若點(diǎn)是正方形外一點(diǎn),,,,求的度數(shù).
拓展應(yīng)用
(3)如圖3,在邊長為的等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn),,,則的面積是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形ABCD中,P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn),點(diǎn)E在AD的延長線上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)證明:△APD≌△CPD;
(2)求∠CPE的度數(shù);
(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)∠ABC=120°時(shí),連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直線y=x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)C,D分別為線段AB,OB的中點(diǎn),點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn),PC+PD值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
A. (-3,0) B. (-6,0) C. (-,0) D. (-,0)
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