Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=

1

2

．點D在邊AC上（不與A，C重合），連結(jié)BD，F(xiàn)為BD中點．

（1）若過點D作DE⊥AB于E，連結(jié)CF、EF、CE，如圖1． 設(shè)CF=kEF，則k=

 

；
（2）若將圖1中的△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點共線，點F仍為BD中點，如圖2．求證：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，點D在邊AC的三等分點處，將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)，點F始終為BD中點，求線段CF長度的取值范圍．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得CF=

1

2

BD，EF=

1

2

BD，CF=EF，于是得k=1；
（2）過點C作CE的垂線交BD于點G，設(shè)BD與AC的交點為Q．得

BC

AC

=

DE

AE

=

1

2

，△BCG∽△ACE．所以

BC

AC

=

GB

AE

=

1

2

，GB=DE．在Rt△ECG中，CF=

1

2

EG，BE-DE=EG=2CF；
（3）情況1：當(dāng)AD=

1

3

AC時，取AB的中點M，連結(jié)MF和CM，最大為2+3

5

，最小值為3

5

-2．情況2：當(dāng)AD=

2

3

AC時，取AB的中點M，連結(jié)MF和CM，最大值為4+3

5

，最小值為為 3

5

-4．再綜合情況1與情況2即可．

解答：解：（1）∵DE⊥AB于E，F(xiàn)為BD中點．
∴CF=

1

2

BD，EF=

1

2

BD，
∴CF=EF．
∵CF=kEF，
∴k=1；      
（2）如圖2，過點C作CE的垂線交BD于點G，設(shè)BD與AC的交點為Q．
由題意，tan∠BAC=

1

2

，

∴

BC

AC

=

DE

AE

=

1

2

．
∵D、E、B三點共線，
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴

BC

AC

=

GB

AE

=

1

2

．
∴GB=DE．
∵F是BD中點，
∴F是EG中點．
在Rt△ECG中，CF=

1

2

EG，
∴BE-DE=EG=2CF；
（3）情況1：如圖，當(dāng)AD=

1

3

AC時，取AB的中點M，連結(jié)MF和CM，
∵∠ACB=90°，tan∠BAC=

1

2

，且BC=6，

∴AC=12，AB=6

5

．
∵M為AB中點，∴CM=3

5

，
∵AD=

1

3

AC，
∴AD=4．
∵M為AB中點，F(xiàn)為BD中點，
∴FM=

1

2

AD=2．
∴當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點共線且M在線段CF上時CF最大，此時CF=CM+FM=2+3

5

．
同理最小值為3

5

-2．
情況2：如圖，當(dāng)AD=

2

3

AC時，取AB的中點M，連結(jié)MF和CM，

類似于情況1，可知CF的最大值為4+3

5

．
綜合情況1與情況2，可知當(dāng)點D在靠近點C的
三等分點時，線段CF的長度取得最大值為4+3

5

．
同理最小值為 3

5

-4．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)．綜合性較強，有一定難度，注意第（3）題分情況討論．