Question

已知α、β是關于x的一元二次方程x²+（m-2）x+1=0的兩個實數根，求（1+mα+α²）（1+mβ+β²）的值．

Answer 1

考點：根與系數的關系,一元二次方程的解

專題：計算題

分析：先根據一元二次方程的解的定義得到α²+（m-2）α+1=0，β²+（m-2）β+1=0，變形得到α²+mα+1=2α，β²+mβ+1=2β，則（1+mα+α²）（1+mβ+β²）可變形為4αβ，然后利用根與系數的關系得到αβ=1，再利用整體代入的方法計算即可．

解答：解：∵α、β是關于x的一元二次方程x²+（m-2）x+1=0的兩個實數根，
∴α²+（m-2）α+1=0，β²+（m-2）β+1=0，即α²+mα+1=2α，β²+mβ+1=2β，
∴（1+mα+α²）（1+mβ+β²）=2α•2β=4αβ，
∵α、β是關于x的一元二次方程x²+（m-2）x+1=0的兩個實數根，
∴αβ=1，
∴（1+mα+α²）（1+mβ+β²）=4αβ=4×1=4．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的解．