Question

如圖，在△ABC中，AB=20cm，AC=10 

2

cm，∠C=45°，在線段BA上，動(dòng)點(diǎn)E以每秒2cm的速度從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，在線段CA上，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒acm，當(dāng)點(diǎn)E、F其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，分別過(guò)點(diǎn)E、F作BC的垂線，垂足為Q、P，連接EF．若點(diǎn)E、F同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形EFPQ總為矩形（點(diǎn)E、F重合除外）．
（1）求a的值；
（2）當(dāng)t為多少時(shí)，矩形EFPQ為正方形；
（3）當(dāng)t為多少時(shí)，矩形EFPQ的面積S最大？并求出最大值．（以上結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：解題思想

分析：（1）根據(jù)直角三角形得出BE、BQ和EQ關(guān)系，F(xiàn)C、PF和PC的關(guān)系，即可得出答案；
（2）矩形EFPQ為正方形，則有EQ=QP，得出方程，求出即可；
（3）在二次函數(shù)中，當(dāng)x等于對(duì)稱軸值時(shí)可以取得最值．

解答：解：作AH⊥BC于H，
在直角△AHC中，由AC=10

2

cm，∠C=45°，得AH=HC=10cm，
在直角△ABH中，AB=20cm，AH=10cm．由勾股定理得：BH=10

3

cm．∠B=30°，
（1）過(guò)t秒后，EQ=

1

2

EB=tcm，F(xiàn)P=

2

2

CF=

2

2

atcm，
∵四邊形PEFQ總為矩形，
∴EQ=PF，即t=

2

2

at，
解得：a=

2

cm/s；

（2）過(guò)t秒后，矩形EFPQ為正方形，
∵由（1）得：BQ=

3

t，PC=t，
∴PQ=BC-BQ-CP=10+10

3

-

3

t-t，
∵四邊形PEFQ為正方形，則EQ=PQ，得10+10

3

-

3

t-t=t，
解得t=

10( 3  +1)

2+ 3

=10（

3

-1）秒；

 （3）過(guò)t秒后，S=t（10+10

3

-

3

t-t）
=（1+

3

）t（10-t）
=-（1+

3

）（t²-10t）
當(dāng)t=-

b

2a

=5秒時(shí)，S_最大值=25（1+

3

）cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形，矩形、正方形，二次函數(shù)求最值問(wèn)題的應(yīng)用，題目綜合性強(qiáng)，難度偏大．