Question

如圖①，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC與DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

（1）如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．
①當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，DE交BC于點(diǎn)F，則線段DF與AC有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由．
②設(shè)△BDC的面積為S₁，△AEC的面積為S₂，則S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系是

 

，證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，設(shè)△BDC的面積為S₁，△AEC中的面積為S₂，猜想：S₁與S₂有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60°，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行解答；
②求得△BDC與△AEC是等底等高的三角形即可求得．
（2）過D點(diǎn)作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，先依據(jù)AAS求得△ACM≌△DCN求得AM=DN，然后根據(jù)等底等高的三角形面積相等．

解答：
（1）①DF∥AC；
解：如圖②所示，
∵∠ACB=90°，∠B=∠E=30°，
∴∠A=∠CDE=60°，
∵AC=DC，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°=∠CDE，
∴DF∥AC，
∴∠CFD=90°，∠DCF=30°，
∴DF=

1

2

DC=

1

2

AC；
②S₁=S₂；
證明：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB，
∵AD=AC，
∴AC=BD，
作CG⊥AB，
∵△ACD是等邊三角形，
∴CG=

3

2

AC，
∵DF∥AC，∠ACB=90°，
∴∠DFC=90°，
∵∠CDE=60°，
∴CF=

3

2

DC=

3

2

AC，
∵DF∥AC，
∴CF的長就是△AEC中AC邊上的高，
∵S₁=

1

2

BD•CG=

1

2

AC•

3

2

AC=

3

4

AC²，S=

1

2

AC•CF=

1

2

AC•

3

2

AC=

3

4

AC²，
∴S₁=S₂；


（2）猜想：S₁=S₂；
證明：過D點(diǎn)作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，
∵∠ECD=90°，
∴∠DCM=90°
∴∠DCN=90°-∠NCM，
又∵∠ACM=90°-∠NCM，
∴∠ACM=∠DCN，
在△ACM與△DCN中

∠ACM=∠DCN AC=CD ∠AMC=∠DNC

，
∴△ACM≌△DCN（AAS），
∴AM=DN，
又∵CE=BC，
∴

1

2

BC•DN=

1

2

CE•AM，
即S₁=S₂．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)平行線的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)以及等底等高的三角形面積相等．