Question

已知：直線y=ax+b與拋物線y=ax²-bx+c的一個(gè)交點(diǎn)為A（0，2），同時(shí)這條直線與x軸相交于點(diǎn)B，且相交所成的角β為45°．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線y=ax²-bx+c的解析式；
（3）判斷拋物線y=ax²-bx+c與x軸是否有交點(diǎn)，并說(shuō)明理由．若有交點(diǎn)設(shè)為M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊），將此拋物線關(guān)于y軸作軸反射得到M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，軸反射后的像與原像相交于點(diǎn)F，連接NF，EF得△NEF，在原像上是否存在點(diǎn)P，使得△NEP的面積與△NEF的面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求得；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得解析式；
（3）利用b²-4ac確定拋物線有沒(méi)有交點(diǎn)，因?yàn)檩S反射后的像與原像相交于點(diǎn)F，則F點(diǎn)即為A點(diǎn)，則OF=2，由于△NEP的面積與△NEF的面積相等且同底，所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2或-2，代入y=-x²-2x+2即可求得．

解答：解：（1）∵直線y=ax+b過(guò)A（0，2），同時(shí)這條直線與x軸相交于點(diǎn)B，且相交所成的角β為45°，
∴OA=OB，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，B（-2，0），當(dāng)a＜0時(shí)，B（2，0）；

（2）把A（0，2），B（-2，0）代入直線y=ax+b得；

b=2 0=-2a+b

，
解得：

a=1 b=2

，
把A（0，2），B（2，0）代入直線y=ax+b得

b=2 0=2a+b

，
解得：

a=-1 b=2

，
∵拋物線y=ax²-bx+c過(guò)A（0，2），
∴c=2，
故拋物線的解析式為：y=x²-2x+2或y=-x²-2x+2．

（3）存在．
如圖，拋物線為y=x²-2x+2時(shí)，b²-4ac=4-4×1×2＜0，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，
拋物線為y=-x²-2x+2時(shí)，b²-4ac=4-4×（-1）×2＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

∵軸反射后的像與原像相交于點(diǎn)F，則F點(diǎn)即為A點(diǎn)，
∴F（0，2）
∵△NEP的面積與△NEF的面積相等且同底，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2或-2，
當(dāng)y=2時(shí)，-x²-2x+2=2，解得：x=-2或x=0（與點(diǎn)F重合，舍去）；
當(dāng)y=-2時(shí)，-x²-2x+2=-2，解得：x=-1+

5

，x=-1-

5

，
故存在滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P坐標(biāo)為：（-2，2），（-1+

5

，-2），（-1-

5

，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題以及三角形面積的求解方法，問(wèn)題考慮周全是本題的難點(diǎn)．