【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠BDC=90°,BD=CD,DM是BC邊上的中線,過點C作CE⊥AB,垂足為E,CE交線段BD于點F,交DM于點N,連接AF.
(1)求證:∠DCN=∠DBA;
(2)直接寫出線段AF、AB和CF之間的數量關系;
(3)當E恰好為AB中點時,∠BAD=______度.
【答案】(1)證明見解析;(2)AF+AB=CF;(3)105.
【解析】
(1)根據垂直的定義得到∠FEB=∠BDC=90°,根據對頂角相等得到∠DFC=∠EFB,于是得到∠DCN=∠DBA;
(2)根據等腰直角三角形的性質得到CM=BM,DM⊥BC,求得∠DMC=∠DMB=90°,根據平行線的性質得到∠MDA=90°,得到∠ADB=∠NDC=45°,根據全等三角形的性質得到AB=CN,DA=DN,AF=NF,于是得到結論;
(3)連接AC,過A作AH⊥BC于H,由矩形的性質得到DM=AH,求得AH=BC,根據線段垂直平分線的性質得到AC=BC,求得AH=AC,得到∠ACH=30°,根據平行線的性質得到結論.
解:(1)∵CE⊥AB,
∴∠FEB=∠BDC=90°,
∵∠DFC=∠EFB,
∴∠DCN=∠DBA,
(2)∵BD=CD,∠BDC=90°
∴△BDC是等腰直角三角形,
又∵DM為BC邊中線,
∴CM=BM,DM⊥BC,
∴∠DMC=∠DMB=90°,
又∵AD∥BC,
∴∠MDA=90°,
又∵∠BDC=90°,
∴∠ADB=∠NDC=45°,
∴△ADB≌△NDC(ASA),
∴AB=CN,DA=DN,
∴∠ADF=∠NDF,
∴△ADF≌△NDF(SAS),
∴AF=NF,
∴CF=CN+NF=AB+AF,
∴AF+AB=CF;
(3)連接AC,過A作AH⊥BC于H,
∴四邊形ADMH是矩形,
∴DM=AH,
∴AH=BC,
∵E恰好為AB中點,CE⊥AB,
∴AC=BC,
∴AH=AC,
∴∠ACH=30°,
∴∠ABC=∠CAB==75°,
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB=30°,
∴∠DAB=105°,
故答案為:105.
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【題目】如圖,在規(guī)格為8×8的邊長為1個單位的正方形網格中(每個小正方形的邊長為1),的三個頂點都在格點上,且直線、互相垂直.
(1)畫出關于直線的軸對稱圖形;
(2)在直線上確定一點,使的周長最。ūA舢媹D痕跡);周長的最小值為_____;
(3)試求的面積.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知△ABC的三個頂點坐標分別是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)將△ABC向下平移5個單位后得到△A1B1C1,請畫出△A1B1C1;
(2)將△ABC繞原點O逆時針旋轉90°后得到△A2B2C2,請畫出△A2B2C2;
(3)判斷以O,A1,B為頂點的三角形的形狀.(無須說明理由)
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【題目】如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長,那么我們稱這個三角形為“美麗三角形”,
(1)如圖△ABC中,AB=AC=,BC=2,求證:△ABC是“美麗三角形”;
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,若△ABC是“美麗三角形”,求BC的長.
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【題目】某市將開展以“走進中國數學史”為主題的知識凳賽活動,紅樹林學校對本校100名參加選拔賽的同學的成績按A,B,C,D四個等級進行統(tǒng)計,繪制成如下不完整的統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖:
成績等級 | 頻數(人數) | 頻率 |
A | 4 | 0.04 |
B | m | 0.51 |
C | n | |
D | ||
合計 | 100 | 1 |
(1)求m= ,n= ;
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,求“C等級”所對應心角的度數;
(3)成績等級為A的4名同學中有1名男生和3名女生,現從中隨機挑選2名同學代表學校參加全市比賽,請用樹狀圖法或者列表法求出恰好選中“1男1女”的概率.
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【題目】已知整數a0,a1,a2,a3,a4,…,滿足下列條件:a0=0,a1=﹣|a0+1|,a2=﹣|a1+2|,a3=﹣|a2+3|,…,以此類推,a2019的值是( )
A. ﹣1009B. ﹣1010C. ﹣2018D. ﹣2020
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【題目】甲、乙兩地相距300千米,一輛貨車和一輛轎車分別從甲地開往乙地轎車的平均速度大于貨車的平均速度,如圖,線段OA、折線BCD分別表示兩車離甲地的距離單位:千米與時間單位:小時之間的函數關系.
線段OA與折線BCD中,______表示貨車離甲地的距離y與時間x之間的函數關系.
求線段CD的函數關系式;
貨車出發(fā)多長時間兩車相遇?
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【題目】嘉淇準備完成題目:化簡:,發(fā)現系數“”印刷不清楚.
(1)他把“”猜成3,請你化簡:(3x2+6x+8)–(6x+5x2+2);
(2)他媽媽說:“你猜錯了,我看到該題標準答案的結果是常數.”通過計算說明原題中“”是幾?
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【題目】如圖,∠AOB是一鋼架,∠AOB=15°,為使鋼架更加牢固,需在其內部添加一些鋼管EF、FG、GH…添的鋼管長度都與OE相等,則最多能添加這樣的鋼管( )根.
A. 2 B. 4 C. 5 D. 無數
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