Question

拋物線y=（x-1）²的頂點(diǎn)A在直線l：y=x-1上運(yùn)動(dòng)，在某一時(shí)刻，所得新拋物線的頂點(diǎn)為B，記B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．
（1）當(dāng)m=-1時(shí)，直接寫出拋物線的解析式；
（2）若新拋物線交x軸于M、N兩點(diǎn)，S_△MBN≤2

2

，求m的取值范圍；
（3）當(dāng)△MBN是等腰直角三角形時(shí)，直接寫出m的值；
（4）當(dāng)△MBN是等邊三角形時(shí)，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先表示出M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而得出MN的值，再利用三角形面積得出m的取值范圍；
（3）若△MBN為等腰直角三角形，作BC⊥MN于C，則BC=

1

2

MN，即1-m=

1-m

，求出m的值即可；
（4）若△MBN為等邊三角形，作BC⊥MN于C，則BC=

3

CN=

3

2

MN，進(jìn)而得出關(guān)于m的關(guān)系式求出m，即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出AB的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B在直線y=x-1上，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m=-1時(shí)，
∴y=-1-1=-2，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，-2），
根據(jù)二次函數(shù)平移a不變則a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x+1）²-2；

（2）如圖1，
拋物線的頂點(diǎn)B（m，m-1），則平移后的新拋物線是y=（x-m）²+m-1，
令y=0，則x=m±

1-m

（m＜1），
xM=m-

1-m

，xN=m+

1-m

，
MN=2

1-m

，
S_△MBN=

1

2

×MN×|y_B|
=

1

2

×2

1-m

×|m-1|
=（1-m）

1-m

≤2

2

，
∴m≥-1，
∴-1≤m＜1，
中間過(guò)程不必處處強(qiáng)求，
若用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系求得：
MN=|x1-x2|=

△

|a|

=2

1-m

，同樣給分，若未注明m＜1或只得m≤1，給3分）；

（3）如圖2，m=0，
若△MBN為等腰直角三角形，作BC⊥MN于C，則BC=

1

2

MN，
即1-m=

1-m

，
∵m＜1，
∴m=0，
說(shuō)明：只有拋物線y=（x-1）²向左下平移時(shí)，才會(huì)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此必有m＜1；

（4）如圖2，若△MBN為等邊三角形，作BC⊥MN于C，
∴∠CBN=30°，

CN

BC

=tan30°，
則BC=

3

CN=

3

2

MN，
即1-m=

3

2

×2

1-m

，
∴m=-2，
∴B（-2，-3），
∵一次函數(shù)y=x-1與坐標(biāo)軸分別交于（0，-1），（1，0），
∴∠OAB=45°，
∴△ABC為等腰直角三形，BC=AC=3，
故AB=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，利用二次函數(shù)的平移以及二次根式的性質(zhì)得出m的值是解題關(guān)鍵．