Question

如圖，AB，CD是圓O的兩條互相垂直的直徑，AE、CF是兩條互相垂直的弦，求證：AE=CF．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理

專題：證明題

分析：根據(jù)垂直的定義由AB⊥CD，AE⊥CF得到∠COH=90°，∠AGH=90°，則利用等角的余角相等得∠A=∠C，再根據(jù)圓周角定理得∠AEB=∠CFD=90°，則∠A+∠B=∠C+∠D=90°，所以∠B=∠D，根據(jù)圓周角定理有弧AE=弧CF，然后利用圓心角、弦、弧的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答：證明：∵AB⊥CD，AE⊥CF，
∴∠COH=90°，∠AGH=90°，
而∠AHG=∠OHC，
∴∠A=∠C，
∵AB，CD是圓O的兩條直徑，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴∠A+∠B=∠C+∠D=90°，
∴∠B=∠D，
∴弧AE=弧CF，
∴AE=CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．