Question

四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點，順次連接點EFGH．
（1）四邊形EFGH是什么四邊形？請證明．
（2）四邊形ABCD有什么條件時，四邊形EFGH是菱形？
（3）四邊形EFGH可能是正方形嗎？

Answer 1

考點：中點四邊形

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的中位線定理，可以證明四邊形EFGH的一組對邊平行且相等，則該四邊形是平行四邊形．
（2）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥AB且EF=

1

2

AB，同理可得GH∥AB且GH=

1

2

AB，EH∥DC且EH=

1

2

DC，然后證明四邊形EFGH是平行四邊形，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形解答．
（3）正方形是一特殊的菱形：內(nèi)角是直角的菱形為正方形．所以當（2）中的菱形EFGH鄰邊相互垂直即可證得該菱形是正方形．

解答：解：（1）四邊形EFGH是平行四邊形．
理由如下：
∵點E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點，
∴EF=

1

2

AB，EF∥AB，GH∥AB，GH=

1

2

AB．
∴EF∥GH，EF=GH．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）當AB=CD時，四邊形EFGH是菱形，
理由如下：∵E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點，
∴EF∥AB且EF=

1

2

AB，
同理可得：GH∥AB且GH=

1

2

AB，EH∥DC且EH=

1

2

DC，
∴EF∥GH且EF=GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵AB=CD，
∴

1

2

AB=

1

2

CD，
即EF=EH，
∴?EFGH是菱形．

（3）當AB=CD且AB⊥CD時，四邊形EFGH是正方形；
理由：如圖所示：
∵AB⊥CD，GH∥AB，EH∥CD，
∴EH⊥GH，
即∠EHG=90°，
∵當AB=CD時，四邊形EFGH是菱形，
∴四邊形EFGH是正方形．

點評：此題考查了三角形的中位線定理和平行四邊形的判定和菱形的判定以及正方形的判定等知識，熟練掌握正方形與菱形的判定是解題關(guān)鍵．