【題目】在圖1至圖3中,的直徑,于點,連接于點,連接,是線段上一點,連接

1)如圖1,當(dāng)點的距離最小時,求的長;

2)如圖2,若射線過圓心,交于點,,求的值;

3)如圖3,作于點,連接,直接寫出的最小值.

【答案】112;(2;(3的最小值為

【解析】

1)連接,根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理的推論可得,BDC=90°,利用勾股定理求出AB,然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出CD,根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時,點,的距離最小,從而求出PD的長;

2)連接,則,利用勾股定理即可求出AE,然后根據(jù)相似三角形的判定定理證出,列出比例式,根據(jù)正切的定義即可求出結(jié)論;

3)以 為直徑作,則的中點,利用勾股定理和圓的基本性質(zhì)求出半徑DG,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得點H一定在上,當(dāng)點,在一條直線上時,最小,利用勾股定理求出CG,即可求出結(jié)論.

解:(1)如圖1,連接,

于點BC為直徑

,BDC=90°

,,

,

,

解得,

當(dāng)時,點,的距離最小,此時

2)如圖2,連接,則

由(1)知,,

,

解得

,

,

3的最小值為

如圖3,以 為直徑作,則的中點,

BD=

,

,

∴點總在上,

∴當(dāng)點,在一條直線上時,最小,

此時,,

的最小值為

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