Question

如圖1，O是正△ABC的內(nèi)心，分別延長OA、OC到點E、D，使OE=2OA，OD=2OC，連接DE，將△DOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角得到△D₁OE₁（如圖2所示）．
（1）猜想AE₁和CD₁之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
（2）當α=60°時，求證：OD₁⊥AC．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AE₁，CD₁，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得OD₁=OE₁，∠AOE₁=∠COD₁，即可證明△AOE₁≌△COD₁，即可解題；
（2）根據(jù)α可以求得∠COD=60°，再根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)可得∠OCD=30°，即可解題．

解答：（1）證明：連接AE₁，CD₁，

∵△DOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角得到△D₁OE₁，
∴OD₁=OE₁，∠AOE₁=∠COD₁，
在△AOE₁ 和△COD₁ 中，

AO=CO ∠AOE1=∠COD1 OD1=OE1

，
∴△AOE₁≌△COD₁（SAS），
∴AE₁=CD₁；
（2）∵α=60°，
∴∠COD=60°，
∵∠OCD=30°，
∴∠ODC=90°，
∴OD₁⊥AC．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應角相等的性質(zhì)，本題中求證△AOE₁≌△COD₁ 是解題的關(guān)鍵．